Вероятно, простейшей численной схемой является метод Эйлера, который определяется формулами

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ. ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ.

МЕТОД ЭЙЛЕРА. МЕТОД РУНГЕ-КУТTА

Конспект данного параграфа помогли составить А.Ю. Скавронский, П.В. Рощин.

Теперь рассмотрим задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) в общей постановке:

Студент: А что, бывают уравнения необыкновенные, волшебные?

Нет. Уравнение называется обыкновенным, если имеет место только одна независимая переменная.

(10.1)

(10.2)

Здесь − заданные функции, − независимая переменная, − заданные начальные условия. Надо найти функции , являющиеся решением задачи (10.1) − (10.2) на отрезке . Для простоты изложения в дальнейшем ограничимся одним уравнением

(10.3)

с одной неизвестной функцией и начальным условием

(10.4)

Рассмотренные ниже методы легко распространяются на системы вида (10.1).

Хотя решение некоторых задач Коши может быть найдено аналитически, (выписано авторучкой на листе бумаги) во многих случаях, в том числе для большинства задач, представляющих практический интерес, такой путь оказывается невозможным. Цель этого и нескольких следующих параграфов настоящей главы состоит в описании способов построения приближенного решения задачи Коши с помощью численных методов, в частности, конечно-разностных методов.

Первый шаг на пути численного решения состоит в разбиении отрезка на конечное число частей введением узловых точек . Хотя неравномерное разбиение отрезка не ведет к каким-либо особым трудностям, для простоты изложения и анализа будем предполагать, что узловые точки делят отрезок на равные отрезки. Если обозначить через расстояние между узлами (шаг сетки), то и , где - (целое) число отрезков разбиения. В дальнейшем будем через обозначать значение точного решения (10.3) в точке , а через - соответствующее приближенное значение, построенное с помощью рассматриваемого численного метода.

Введем сетку:

.

Вероятно, простейшей численной схемой является метод Эйлера, который определяется формулами

(10.5)

Вывод метода Эйлера очевиден. Из разложения Тейлора функции в окрестности точки имеем:

(10.6)

где лежит внутри отрезка . Мы всегда будем считать, что все выписываемые производные действительно существуют. Если производная ограничена, а шаг мал, то можно отбросить последний член и, используя обозначение в смысле «приближенно равно», написать

Это и служит основой для (10.5). Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке .

Метод Эйлера очень прост для реализации на ЭВМ: на шаге вычисляется значение , которое затем подставляется в (10.5). Таким образом, все необходимые операции по существу сводятся к вычислению

Как видно из расчетов применения метода, численное решение сильно отличается от точного и главный вопрос при использовании метода Эйлера или любого другого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений . Вообще говоря, существует два источника погрешности этих приближений: