Далее рассмотрим величину

(10.9)

которая называется локальной ошибкой дискретизации метода Эйлера в точке x и служит мерой того, насколько разностная аппроксимация отличается от . Предположим теперь, что равно значению точного решения . Тогда разность между аппроксимацией по Эйлеру и точным решением выражается формулой

(10.10)

Таким образом, умноженная на локальная ошибка дискретизации равна ошибке на одном шаге метода Эйлера, стартовавшего с точного решения.

Обычно нас интересует максимум по , так что определим локальную ошибку дискретизации метода Эйлера как

(10.11)

Отметим, что величина зависит как от величины шага , так и от вида правой части дифференциального уравнения и от отрезка . Однако здесь выделена явно только зависимость от , поскольку в предложении (10.8) с помощью разложения Тейлора, аналогично (10.6), можно получить оценку

(10.12)

Здесь воспользуемся стандартным обозначением (символ Ландау) для величины, стремящейся к нулю при с той же скоростью, что и . Напомним, что в общем случае говорят, что функция равна , если при величина ограничена.

Задача теперь состоит в том, чтобы связать локальную ошибку дискретизации с глобальной ошибкой дискретизации. Если обозначить ошибку через , то согласно (10.5) и (10.10), получим

(10.13)

Предположим теперь, что функция имеет ограниченную частную производную по второй переменной:

(10.14)

Тогда по теореме Лагранжа о среднем значении при некотором имеем

Используя эту оценку и заменяя на , из формулы (10.13) получим оценку

(10.15)

Полагая здесь и раскрывая последовательность в (10.15), получаем оценку

(10.16)