Однородная часть уравнения (12.11) имеет вид

y_n+1 =a_my_n + … + a₁ y_n-m+1. (12.12)

По аналогии с дифференциальными уравнениями второго порядка (исключая резонансный случай) попытаемся найти для уравнения решения экспоненциального типа. Только в этом случае в качестве экспоненты будем брать выражение у_k = λ ^k с некоторой неиз­вестной постоянной λ. Если l удовлетворяет уравнению

λ ^m – a_m λ ^m-1 –... – a₁= 0, (12.13)

которое представляет собой характеристическое уравнение для (12.12), то y_k= λ ^k действительно является решением (12.12). Если предположить, что все m корней λ ₁ ,..., λ _m уравнения (12.13) различны, то последова­тельности λ ^k₁,..., λ ^k_m образуют фундаментальную систему решений и общее решение уравнения (12.12) можно записать в виде

y_k = c_iλ ^k_i, k=0, 1,...., (12.14)

где – произвольные постоянные. Если 1 - - - … - 0, то, как легко проверить, «частное решение» выражается формулой

(12.15)

Следовательно, общее решение уравнения (12.11) есть сумма (12.14) и (12.15):

k = 0, 1,... (12.16)