Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка

. (12.19)

Разделим переменные , после интегрирования имеем

. (12.20)

Константа интегрирования определяется из начального условия .

Введем сетку (сетка в вычислительной математике- это множество точек) .

Применим метод Эйлера к (12.19). В данном случае получаем

(12.21)

Это разностное уравнение со значением m = 1. В том случае, когда известно точное решение, формулы общей теории разностных уравнений не нужны, можно воспользоваться вторым замечательным пределом:

где - число Эйлера. Это иррациональное число: бесконечная десятичная не периодическая дробь.

Студент: Каким надо выбрать , чтобы предел был выполнен?

В данном случае ответ очевиден :

Т.е. решение разностного уравнения имеет вид

Сделаем проверку. Вычислим:

. (12.22)

Подставим в уравнение (12.21) и убедимся, что это тождество. Т.о., экспоненциальная функция при разностной аппроксимации приближается к степенной функции. При 0 < h < 1 она убывает, следовательно, решение устойчиво. Решим (12.21) с помощью формул общей теории разностных уравнений. Для уравнения (12.21) получаем тот же результат m = 1. Характеристическое уравнение имеет вид ,. Все остальное слагаемые в формулах (12.14) – (12.16) равны 0.