Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Существование и единственность интерполяционного многочлена.
Пусть известные значения некоторой функции F(x) образуют таблицу вида табл. 4.1. Будем решать задачу интерполирования этой функции с помощью построения интерполяционного многочлена n-й степени G(x) = (4.3) который в узлах хi принимает табличные значения уi: G(x0)=у0, G(x1)=у1,..., G(xn) = уn. (4.4) Условия интерполяции (4.4) приводят к системе из п+ 1 линейных алгебраических уравнений с п+ 1 неизвестными — коэффициентами многочлена:
(4.5) ………………………………..
Решая эту систему относительно неизвестных мы и получим аналитическое выражение полинома (4.3). Система (4.5) всегда будет иметь единственное решение, поскольку ее определитель, известный в алгебре как определитель Вандермонда , составленный из попарно различных значений элементов хi (а различными они в данной ситуации будут всегда), не равен нулю. Отсюда и вытекают существование и единственность решения системы (4.5) и, следовательно, многочлена (4.3). Совершенно очевидно, что интерполяционный многочлен меньшей степени, вообще говоря, не существует, а большей существует, но не единственен. Поэтому интерполяция стандартно производится многочленами, степень которых на единицу меньше числа узлов. Описанный прием можно использовать и для практического решения задачи построения интерполяционного многочлена: достаточно составить и решить систему вида (4.5) и подставить найденное решение в (4.3). Такой путь, невзирая на громоздкость вычислительных действий, которые надо произвести для решения большой системы линейных уравнений (и, что особенно неприятно, при угрозе потери устойчивости механизма учета вычислительной ошибки, которая неизбежно возникает с возрастанием числа производимых операций), в принципе при использовании современных вычислительных средств вполне может быть применен. Вместе с тем для многочленной интерполяции существуют более эффективные приемы, описанные ниже, которые позволяют обойти решение систем уравнений при построении интерполяционных многочленов.
|