Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа.

Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычисле­ний существенно улучшается, если пользоваться специальной вычислительной схемой.

В табл. 4.2 показано построение такой схемы для 4 узлов (i =0, 1, 2, 3). Таблица составляется заново для каждого нового значе­ния аргумента х.

Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведения Р_i разностей по стро­кам:

и т.д.

Таблица 4.2

x	x0	x1	x2	x3	Pi	yi	yi/ Pi
x0
x1
x2
x3

Легко видеть, что использованное в табл. 4.2 обозначение Р_i, это знаменатель в формуле Лагранжа (4.11), т.е.

(i =0, 1, …, n).

С учетом этого обозначения формула Лагранжа имеет вид

Все необходимые значения последовательно получаются в таб­лице. Сумма S образуется сложением элементов последнего столб­ца. Для получения окончательного значения достаточно ум­ножить S на произведение (произведение диагональных разностей таблицы).

Пример 4.2. Имеется таблица значений некоторой функции:

Требуется получить значение этой функции в точке х =1, 91, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа.

Вычисления приведены в табл. 4.3. Для нахождения окончатель­ного результата сумма значений последнего столбца умножается на произведение диагональных разностей:

f (1, 91) = 0, 792·5, 241 ≈ 4, 15.

Таблица 4.3