Погрешность многочленной интерполяции.

Если известно аналитическое выражение интерполируемой функ­ции f(х), то можно получить формулу для оценки погрешности интерполирования (погрешности метода). Остаточный член интер­поляционного многочлена F_n(x) имеет вид: R_n(x) = f(х) - F_n(x).

Предположим, что f(х) имеет все производные до (п + 1)-го порядка включительно. Введем вспомогательную функцию (4.20)

где К— постоянный множитель. Как видно, функция и(х) имеет n + 1 корень (узлы интерполяции х₀, х₁,.., х_n). Подберем коэффициент К так, чтобы и(х) имела (n + 2)-й корень в любой точке (i = 0, 1,..., п). Действительно, чтобы было , т.е. , достаточно принять:

(4.21)

При этом значении К функция u(х) будет иметь п + 2 корня на отрезке интерполирования и будет обращаться в нуль на концах каж­дого из отрезков: [ х₀; x₁ ], [ x₁; x₂ ],..., [ х_i; х* ], [ х*; ],..., [ х_n-1; х_n ] (всего отрезков n + 1).

Применяя теорему Ролля к функции на каждом из этих отрезков, убеждаемся в том, что имеет не менее кор­ней; далее, применяя ту же теорему к производным, последова­тельно получаем

имеет не менее п корней;

……………………………………

имеет не менее одного корня.

Пусть — та самая точка, в которой . Продиффе­ренцируем (4.20) раз: откуда

а при

(4.22)

Сравнивая (4.21) и (4.22), имеем

Но точка — произвольная (правда, от зависит), поэтому можно записать:

Таким образом, если принять то

(4.23)

Оценочная формула (4.23) непосредственно применима для подсчета погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа. Используя подстановки и и заменяя соответствующим образом выражение для можно полу­чить из (4.23) формулы оценки погрешностей интерполирования по первой и второй интерполяционным формулам Ньютона

(4.24)

(4.25)

Решающее влияние на значение погрешности оказывает вели­чина которая минимизируется, когда берется в сере­дине интервала узловых точек. При этом, когда ближе к середи­не между двумя узловыми значениями, выгодно взять четное чис­ло узлов (т узлов слева и т справа от х). Если же близко к одному из узловых значений, следует использовать нечетное число узлов — узел, ближайший к х и по т узлов слева и справа от него.

Очевидно, что при составлении интерполяционных формул Ньютона последние слагаемые практически исчезают, если соот­ветствующие конечные разности — нули или близкие к нулю чис­ла. Поэтому в практических вычислениях интерполяционные фор­мулы Ньютона обрывают на членах, содержащих такие разности, которые в пределах заданной точности можно считать постоян­ными.

Связь между конечными разностями и точностью интерполи­рования по формулам Ньютона подтверждается следующими со­ображениями. Принимая во внимание, что при малых значениях h и при условии непрерывности можно приближенно считать

, где (т.е. - максимальная из модулей конечных разностей (п + 1)-го порядка). При этом условии оценки (4.24) и (4.25) остаточных членов первой и второй интерполяционных формул Ньютона принимают следую­щий вид:

(4.26)

(4.27)

Формулы (4.26) и (4.27) удобны тем, что позволяют делать оценку ошибки метода интерполирования без исследования -й производной интерполируемой функции (в частности, когда аналитическое выражение вовсе неизвестно).

На окончательную погрешность интерполирования влияет и вычислительная погрешность. Обращаясь к оценке точности интерполирования, в данном случае, как и ранее, приходится вполне обоснованно при использовании всех возможностей современных вычислительных средств предполагать, что машинная точность реализации вычислений существенно выше задаваемой точности интерполирования, и что, следовательно, оценка погрешности многочленной интерполяции может сводиться только к оценке погрешности метода.