Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть функция F(x) задана табл

Пусть функция F(x) задана табл. 4.1. Построим многочлен L_n(х), степень которого не выше, чем п, и для которого выполнены ус­ловия интерполяции

, , …, (4.6)

Будем искать L_n(х) в виде

(4.7)

где — многочлен степени п, причем

(4.8)

Очевидно, что требование (4.8) с учетом (4.7) вполне обеспе­чивает выполнение условий (4.6).

Многочлены составим следующим образом:

(4.9)

где С_i, — коэффициент, значение которого найдем из первой ча­сти условия (4.8):

(заметим, что ни один множитель в знаменателе не равен нулю). Подставим С_i в (4.9) и далее с учетом (4.7) окончательно имеем:

(4.10)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции F формула (4.10) позволяет довольно просто составить “внешний вид” многочлена.

Пример 4.1. Построить интерполяционный многочлен Лагран­жа для функции, заданной таблицей значений:

Из таблицы следует, что n =2 (т. е. степень многочлена будет не выше 2); здесь х₀ =1, x₁ =3, х₂ =4. Используя формулу (4.10), получаем

Используя обозначение , формуле (4.10) можно придать более сжатый вид. Для этого продифференцируем по х:

При х=х_i, имеем (i =0, 1, …, n):

Тогда формула Лагранжа (4.10) принимает вид

(4.11)