Постановка задачи аппроксимации функций.

В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функ­цию приходится заменять другой, более простой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функ­ций.

Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ ее задания. Предположим, что в результате некоторого эксперимента для конечного набора значе­ний х_i величины х из отрезка [а; b]

а = х₀ < х₁ <... х_i... < х_n = b

получен набор значений у_i- величины у (табл. 4.1). Если допустить, что между х и у существует функциональная зависимость у = F(x), можно поставить вопрос о поиске аналитического представления функции F (очевидно, что в такой общей постановке эта задача решается неоднозначно). Точки х₀, х₁,.., х_n в этом случае называ­ются узлами. Если расстояние , является постоянным (т.е. независящим от i), то сетка значений, представленная табл. 4.1, называется равномерной.

Таблица 4.1

Повод для аппроксимации может возникнуть даже тогда, ког­да аналитическое выражение для некоторой функции у=F(х) име­ется, однако оно оказывается мало пригодным для решения поставленной задачи, потому что операция, которую требуется осу­ществить над этой функцией, трудновыполнима. Элементарный пример — вычисление значения трансцендентной функции “вруч­ную”. Действительно, чтобы вычислить, например, , про­ще всего воспользоваться степенным разложением функции, т. е. заменить трансцендентную функцию степенной. При этом полу­чится, разумеется, приближенное значение функции, но если мы умеем контролировать погрешность, то можно считать, что мы получили интересующий нас результат — хотя бы потому, что в реальности все равно приходится ограничиваться приближенным представлением значений логарифмической функции.

Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции, —вычисление определенных интегралов. Задача эта, как правило, весьма сложная, часто эле­ментарными приемами невыполнимая. Как вычислить интеграл ? Он, несомненно, существует, но по формуле Ньютона—Лейбница быть вычислен практически не может, так как первообразная не выражается в элементарных функциях (как и множество других первообразных от элементарных функций). Аппроксимация подынтегральной функции — один из возмож­ных приемов (и важно отметить, что цель аппроксимации налага­ет отпечаток на ее способ).

Классический подход к численному решению подобных задач заключается в том, чтобы, опираясь на информацию о функции F, по некоторому алгоритму подобрать аппроксимирующую функ­цию G, в определенном смысле “близкую” к F.

Чаще всего задача аппроксимации решается с помощью мно­гочленов. Вычисления значений многочлена легко автоматизиро­вать, производная и интеграл от многочлена, в свою очередь, также являются многочленами. Наряду с многочленами для ап­проксимации используют ряды Фурье, экспоненциальные и дру­гие элементарные функции.

Для оценки “близости” функций выбирают тот или иной кри­терий согласия. Эти критерии основаны на использовании той или иной метрики, т. е. способа введения расстояния между функциями, принадлежащими тому или иному классу: (F(x), G(x)). Например, для функций, ограниченных на отрезке [а; b], рас­стояние может быть введено следующим образом: (F(x), G(x))= ; для функций, непрерывных на отрезке [а; b], по формуле или (а также многими другими способами).

Для функций, заданных таблично, достаточно распространен­ным критерием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние между аппроксимируемой и аппрокси­мирующей функциями как максимум величины отклонения меж­ду этими функциями в узлах сетки (см. табл. 4.1):

(4.1)

Если =0, т.е. то соответствующий способ аппроксимации называют интерполяцией, а процедуру вычисле­ния значений F(x) с помощью G(x) в точках, не являющихся узлами сетки, — интерполированием.

С геометрической точки зрения график функции G(x) при ин­терполировании должен проходить через все точки A₀(х₀, у₀), A₁(х₁, у₁), … A_n(х_n, у_n),. Подчеркнем, что для значений х, не явля­ющихся узловыми, значения функции G(x) ничем не регламен­тированы, и в принципе могут значительно отличаться от значе­ний функции F(x).

Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия:

. (4.2)

Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов.

Выбор критерия согласия позволяет строить методы, позволяю­щие однозначно определять параметры аппроксимирующей функ­ции (если задан ее вид).