Зростання і спадання функції

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

Зростання і спадання функції

Функція називається зростаючою на інтервалі , якщо для будь-яких і , що належать до цього інтервалу, і таких, що < , справджується нерівність < .

Функція називається спадною на інтервалі , якщо для будь-яких і , що належать до цього інтервалу, і таких, що < , справджується нерівність > .

Як зростаючі, так і спадні функції називаються монотонними, а інтервали, в яких функція зростає або спадає – інтервалами монотонності.

Зростання і спадання функції характеризується знаком її похідної: якщо у деякому інтервалі > , то функція зростає в цьому інтервалі; якщо ж < , то функція спадає в цьому інтервалі.

Інтервали монотонності можуть відділятися один від одного або точками, де похідна дорівнює нулю, або точками, де похідна не існує. Ці точки називаються критичними точками.

Отже, щоб знайти інтервали монотонності функції , треба:

1) знайти область визначення функції;

2) знайти похідну даної функції;

3) знайти критичні точки з рівняння та за умови, що не існує;

4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і у кожному з них визначити знак похідної.

На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від^’ємна – спадає.