Зразки розв’язування задач

Знайти асимптоти кривих.

1. .

а) .

В точці функція має розрив II роду, тому що .

Отже, - вертикальна асимптота.

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, .

Тоді - похила асимптота.

2. .

а) Область визначення функції:

.

.

В точках функція має розриви II роду, тому що . Тому графік має дві вертикальні асимптоти та .

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, . Тоді - горизонтальна асимптота.

3. .

а) Область визначення функції:

.

Обчислимо , тому - точка розриву II роду.

Отже, - вертикальна асимптота.

б) Похилі асимптоти:

,

.

Маємо: - похила асимптота.

4. .

а) Область визначення функції .

Точок розриву II роду немає, тому графік функції не має вертикальних асимптот.

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, .

При (коли ) похилої асимптоти не існує. Знайдемо . Щоб обчислити границю, перетворимо вираз до вигляду . Тоді маємо невизначеність , до якої можна застосувати правило Лопіталя, а саме:

. Маємо: - горизонтальна асимптота.

5. .

а) Область визначення функції: .

.

Обчислимо , . В точках функція має розрив II роду. Отже, та - вертикальні асимптоти.

б) Похилих асимптот немає, тому що неможливо обчислити коефіцієнти і (функція не визначена при ).

Завдання для самостійної роботи

Знайти асимптоти кривих:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .