Знайти точки перегину і інтервали опуклості та вгнутості графіків функцій.

1. .

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) або . Маємо , звідки .

б) існує на всій області визначення.

3) Знаки :

при ; при .

Отже, на інтервалі крива вгнута. Враховуючи, що в точці функція неперервна, робимо висновок, що крива опукла на інтервалі . При переході через точку друга похідна змінює знак, тому - точка перегину. В точці перегину немає.

4) . - точка перегину.

2. .

1) .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) або , звідки , .

б) існує для всіх .

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалах і , вгнута на інтервалі .

В точках і графік має перегин.

4) .

.

і - точки перегину.

3. .

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , , звідки або .

б) існує для всіх .

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалах і , вгнута на інтервалах і .

В точках графік має перегини.

4) .

, .

- точки перегину.

4. .

1) Область визначення: .

.

2) Критичні точки II роду:

; .

а) .

б) не існує при , але .

Критичних точок II роду немає, графік не має точок перегину.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалі .

5. .

1) Область визначення функції: .

.

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , тому що .

б) існує на всій області визначення.

Критичних точок немає. Отже, немає і перегинів графіка.

3) Знаки :

Графік функції вгнутий на всій області визначення.

6. .

1) Область визначення .

2) Критичні точки II роду:

; .

а) .

б) не існує при , тому - критична точка.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалі . При графік має перегин.

4) .

- точка перегину.

7. .

1) Область визначення: .

.

2) Критичні точки II роду:

;

.

а) , тому що .

б) існує для всіх .

Критичних точок немає. Отже, немає і перегинів графіка.

3) Знаки :

Крива опукла на інтервалі , вгнута на інтервалах і .

Завдання для самостійної роботи

Знайти точки перегину і інтервали опуклості та вгнутості графіків функцій.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .