Й , 3-й и 4-й степеней

Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне. Решение уравнения 3-ей степени x³ + a₁ x = a₂ (при положительных a₁ и a₂) впервые было найдено итальянским математиком дель Ферро около 1500 г. Решения двух других типов уравнения 3-й степени x³ = a₁ x + a₂ 2 и x³ + a₂ = a₁ х (также при положительных a₁ и a₂) было найдено в 1535 г. другим итальянским математиком Н.Тартальей. Спустя пять лет Л.Феррари удалось найти и способ решения в радикалах общего алгебраического уравнения 4-й степени. Однако вплоть до конца XVIII века многочисленные попытки решить в радикалах общее уравнение 5-й степени оказались безуспешными.

Замечание. Не умаляя общности, будем в дальнейшем считать, что

1) в рассматриваемых алгебраических уравнениях коэффициент при предпоследней степени равен нулю (этого всегда можно добиться за счет сдвига по оси x),

2) рассматриваемое алгебраическое уравнение не имеет кратных корней (кратные корни легко находятся по алгоритму Евклида определения наибольшего общего кратного рассматриваемого многочлена и его производной).

Все предпринимавшиеся на протяжении веков попытки решения в радикалах алгебраических уравнений

так или иначе сводились к отысканию " резольвенты" - вспомогательного уравнения

степень которого r меньше степени n исходного алгебраического уравнения, и коэффициенты которого b_j рационально выражаются через коэффициенты a_i исходного уравнения.

Например, для уравнения 3-й степени

x³ + a₁ x + a₂ = 0

резольвента дель Ферро - Тартальи имела вид

y³ + b₁ y + b₂ = 0, где b₁ = a₂, .

- 5 -

При этом решение имело вид (значения кубических корней выбираются с учетом того, что их произведение равно ).

Для уравнения 4-й степени

x⁴ + a₁ x² + a₂ x + a₃ = 0

резольвента Феррари имела вид

y³ + b₁ y² + b₂ y + b₃ = 0, где b₁ = -a₁, b₂ = -4a₃, b₃ = 4a₁a₃ - (a₂)²

Корни исходного уравнения находились при этом из соотношения

.

Пример 1. Для уравнения x³ - 6x - 40 = 0 резольвента дель Ферро - Тартальи имеет вид y² - 40y + 8 = 0, а радикальными выражениями для корней исходного уравнения будут

,

,

.

Пример 2. Для уравнения x⁴ - 4x + 3 = 0 резольвента Феррари имеет вид

y³ - 12y - 16 = 0, y = 4 - одно из решений этого вспомогательного уравнения, корни исходного уравнения находятся из соотношения x² + 2 = 2x 1, радикальными выражениями для них будут x₁ = x₂ = 1, x₃ = -1 + ,

x₄ = -1 - .

- 6 -

Упражнение 2. Укажите резольвенты и радикальные выражения корней для следующих уравнений:

а) x³ - 7x + 6 = 0, д) x⁴ – x² - 2 = 0,

б) x³ - 3x - 18 = 0, е) x⁴ - 15x² - 4x = 0,

в) x³ - 15x - 50 = 0, ж) x⁴ - 4x - 1 = 0,

г) x³ - 21x + 20 = 0, з) x⁴ - 4x - 3 = 0.

3. " Размышление об алгебраическом решении уравнений"