С точки зрения теории Галуа

Теория Галуа позволяет ответить и на вопрос о возможности или невозможности выполнить заданное геометрическое построение с помощью только циркуля и линейки. Действительно, все задачи на построение с помощью циркуля и линейки состоят из последовательных построений следующих типов: проведение прямой через две данные точки, нахождение точки пересечения двух прямых, прямой и окружности или двух окружностей, так что всегда есть система двух уравнений относительно координат x и y, приводящаяся к алгебраическому уравнению относительно x не выше второй степени. Поэтому каждая задача на построение с помощью циркуля и линейки алгебраически равносильна решению такой цепочки линейных или квадратных уравнений, что коэффициенты каждого последующего уравнения цепочки рационально выражаются через корни и коэффициенты предыдущих уравнений. Можно сказать и так: с помощью циркуля и линейки можно из данных отрезков построить те и только те искомые отрезки, длины которых выражаются через длины данных отрезков с помощью конечного числа последовательно

- 18 -

выполняемых операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Поэтому можно заключить, что

построение с помощью циркуля и линейки возможно тогда и только тогда, когда алгебраическое уравнение, к которому приводится данная задача, имеет хотя бы одно вещественное решение, а группа Галуа этого уравнения имеет порядок вида 2^к.

Например, задача удвоения куба - построения куба вдвое больше данного - выражается уравнением x³ = 2, где x -ребро искомого куба (ребро данного куба принимаем за единицу длины). Как и всякое уравнение нечетной степени, данное уравнение имеет вещественный корень. Далее, группа Галуа G всякого уравнения 3-й степени есть некоторая подгруппа группы S₃ = {(1), (12), (23), (13), (123), (321)}. Поэтому порядок группы G является делителем порядка 3! = 6 группы S₃, т.е. порядок G равен одному из чисел 1, 2, 3, 6. Но подгруппа G₃ = {(1), (123), (321)} порядка 3 и подгруппа G₆ = S₃ = {(1), (12), (23), (13), (123), (321)} порядка 6 являются транзитивными, т.е. для каждой пары индексов i, j содержат подстановку, переводящую i в j. Можно показать, что группа Галуа алгебраического уравнения будет транзитивной тогда и только тогда, когда уравнение неприводимо над полем коэффициентов, т.е. когда многочлен в левой части уравнения не раскладывается в произведение двух многочленов, коэфициенты которых рационально выражаются через коэффициенты исходного уравнения. Поэтому если задача на построение с помощью циркуля и линейки выражается уравнением 3-й степени с вещественными коэффициентами, то она разрешима тогда и только тогда, когда это уравнение приводимо над полем коэффициентов. В случае, когда все коэффициенты уравнения задачи суть рациональные числа, приводимость уравнения над полем коэффициентов означает возможность разложить многочлен в левой части уравнения в произведение двух многочленов с рациональными же коэффициентами. Для рассматриваемой задачи все коэффициенты уравнения суть целые рациональные числа, и можно показать, что в этом случае возможность разложения многочлена в левой части уравнения в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами равносильна возможности разложения его в произведение двух многочленов с целыми рациональными коэффициентами. Но последнее означало бы, что

x³ – 2 = (ax + b)(cx² + dx + e),

где a, b, c, d, e - целые рациональные числа. Это же невозможно, так как из ac = 1 следует, что a = 1, из be = -2 следует, что b = 1 или 2, и

тогда x = 1 или 1/2, но ни одно из этих четырех значений не является в действительности корнем исходного уравнения.

19 -

fccvjnhbvHРассмотрим еще один пример. Задача трисекции угла - деления данного угла на три равные части - выразится, если использовать формулу для синуса тройного угла, уравнением

4x³ – 3x + = 0,

где -синус данного угла, а x -синус искомого угла. Согласно выше сказанному, эта задача будет разрешима с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда многочлен 4x³ – 3x + раскладывается в произведение двух многчленов (ax + b)(cx² + dx + e), все коэффициенты которых рационально выражаются через .

Упражнение 6. Исследуйте, можно ли с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части углы: а) 90 ⁰, б) 30 ⁰, в) 45 ⁰, г) arcsin(3/5)?

Упражнение 7. Объясните с точки зрения теории Галуа, почему возможно построение правильного пятиугольника с помощью только циркуля и линейки (см. пример 14). Проведите само построение.