Теорема Руффини о невозможности решения в радикалах

общего алгебраического уравнения степени n 5

Итальянский математик П.Руффини в 1799 г. дал первое доказательство невозможности решения в радикалах общего уравнения степени n 5. Это доказательство опиралось, правда, на допущение, что в искомом радикальном выражении все промежуточные радикалы рационально выражаются через корни уравнения и некоторые первообразные корни из единицы. Приведем кратко это доказательство, следуя [7, стр. 41-42 ].

Пусть решение общего уравнения степени n 5 (не имеющего кратных корней) достигается путем следующих радикальных выражений: P₁ = (внутренний радикал), где A₁ - рациональная функция от коэффициентов уравнения; P₂ = , где A₂ - рациональная функция от коэффициентов уравнения и P₁; P₃ = , где A₃ - рациональная функция от коэффициентов уравнения, P₁ и P₂; наконец, один из корней уравнения x = P_k = , где A_k - рациональная функция от коэффициентов уравнения, P₁, P₂, P₃,..., P_k-1 . Рассмотрим подстановку p = (12345). Пусть P₁₁, P₁₂, P₁₃,... - величины, в которые переводится P₁ при помощи подстановок p¹ = (12345), p² = (13524), p³ = (14253), p⁴ = (15432), p⁵ = (1). Так как (P₁)n1 = A₁ не меняется от производства постановок, то должно быть P₁₁ = P₁, где - некоторый корень из единицы. Тогда P₁₂ = P₁₁ = P₁, P₁₃ = P₁, P₁₄ = P₁, P₁₅ = P₁. Но p⁵ оставляет все цифры на месте, а потому P₁₅ = P₁, откуда . Возьмем теперь подстановку q = (123). Заметим, что q³ оставляет все цифры на месте. Рассуждая далее аналогично выше изложенному, получаем, что P₁₃ = P₁ = P₁, так что . Вместе с тем произведение pq = (13452) и (pq)⁵ = (1). Но P₁ под действием подстановки pq переходит в P₁, поэтому . Но , поэтому и , что вместе с дает . Таким образом, подстановка q оставляет величину P₁ неизменной. Подобным же образом можно доказать, что и подстановка s = (345) оставляет величину P₁ неизменной. Но sq = (12345) = p, а потому и p оставляет величину P₁ неизменной, откуда . Переходя к P₂, затем к P₃,..., наконец к P_k, мы убеждаемся, что все они не меняются от подстановок p,

q, s. Обращаясь теперь к равенству x = P_k, мы видим, что при подстановке p левая его часть меняется, в то время как правая остается неизменной.

- 12 -

Это противоречие и завершает доказательство теоремы. Отметим, что полное и независимое от Руффини доказательство неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени n 5 было дано норвежским математиком Н.Х.Абелем в 1824 г.