Ж. Лагранжа (1771 - 1773 гг.)

Лагранж начинает свое исследование с анализа известных попыток решения алгебраических уравнений в радикалах. Он замечает при этом, что не только коэффициенты резольвенты, но и ее корни и все промежуточные радикалы в радикальном выражении для корней исходного алгебраического уравнения рационально выражаются через корни исходного уравнения и, может быть, еще через некоторые первообразные корни из единицы.

Например, для уравнения 3-й степени x³ + a₁x + a₂ = 0 с резольвентой

дель Ферро - Тартальи имеем

,

,

,

а для уравнения 4-й степени x⁴ + a₁ x² + a₂ x + a₃ = 0 с резольвентой Феррари y³ – а₁ y² – 4а₂ y + 4а₁а₃ – (а₂)² = 0 имеем:

- 7 -

y₁ = x₁x₂ + x₃x₄, y₂ = x₁x₃ + x₂x₄, y₃ = x₁x₄ + x₂x₃.

Итак, видно, что , где - некоторая рациональная относительно всех переменных функция. Но тогда, замечает Лагранж, при произвольной перестановке корней ( при i j)величина также будет являться корнем резольвенты. Но корней резольвенты всего r n ^– 1, в то время как различных возможных перестановок корней имеется n! (при условии отсутствия кратных корней). Поэтому Лагранж приходит к выводу, что

отыскание резольвенты сводится к отысканию таких рациональных функций от корней исходного уравнения, которые при всех возможных перестановках корней принимают всего r n ^– 1 значений.

Рассматривая далее вопрос о нахождении таких функций , Лагранж переходит от перестановок корней к более удобным подстановкам их номеров . Множество S_n всех подстановок из n элементов он разбивает на части:

S_n= H₁ + H₂+ H₃+... + H_r,

где H_i= {p S_n таких, что } (здесь , , ,..., - корни резольвенты). Лагранж устанавливает при этом, что число элементов во всех частях H_i одинаково. Функции , не меняющие своих значений при одних и тех же подстановках из S_n (все такие подстановки составляют H₁ ), Лагранж называет подобными. Он показывает, что все подобные функции рационально выражаются друг через друга и через коэффициенты исходного уравнения. Например, при n = 2, x² + px + q = 0, D = p2– 4q 0, p 0 функции = x₁ – x₂ и = x₂² обе не меняются только при тождественной подстановке. Эти функции рационально выражаются друг через друга и через коэффициенты p и q исходного уравнения: , .

- 8 -

Поэтому Лагранж заключает, что

вопрос о нахождении функций и, следовательно,

вопрос о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах

сводится к изучению частей H_i множества всех перестановок S_n.

Некоторые основные понятия

Всякую подстановку из множества S_n можно записать в виде произведения циклов. Например, подстановку из S₅, при которой 1 переходит в 3, 3 переходит в 4, 4 переходит в 2, 2 переходит в 5, а 5 переходит в 1, можно записать в виде (13425) или (42513).

Подстановку, при которой 1 переходит в 5, 5 переходит в 2, 2 переходит в 1, 3 переходит в 4, а 4 переходит в 3, можно записать в виде (152)(34) или (34)(152). Произведение (последовательное выполнение) двух подстановок само есть некоторая подстановка. Например, (124)(254) = (154). Можно заметить при этом, что результат произведения подстановок зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей, например (254)(124) = (251) или (125), а не (154). Однако оказывается, что результат произведения трех подстановок не зависит от того, выполняется ли сначала произведение первой на вторую, а затем результата на третью, или первую умножают на произведение второй на третью. Например, [(12)(123)](23) = (13)(23) = (123) и (12)[(123)(23)] = (12)(13) = (123). Тождественную (i переходит в i) подстановку будем записывать (1) и называть единичной подстановкой, так как любая подстановка не меняется при умножении на (1). Для каждой подстановки имеется обратная подстановка, при умножении на которую исходной подстановки получается единичная постановка. Например, для подстановки (12) обратной (12)^-1 будет она сама, так как (12)(12) = (1), а для подстановки (152)(34) обратной [(152)(34)]^-1 будет (125)(34). Поэтому говорят, что по своей структуре множество S_n является группой.

Любая часть группы G, которая сама является группой, т.е. обладает перечисленными свойствами, называется подгруппой группы G. Например, множество {(1), (12)} будет подгруппой группы S₃. Напротив, множества {(12), (13)} и {(1), (123)} не будут подгруппами группы S₃, так как в первом множестве нет единичной подстановки, а во втором множестве к подстановке (123) нет обратной: (123)(1) = (123) (1) и (123)(123) = (132) (1).

Число элементов группы или подгруппы называется ее порядком. Как установил в своем исследовании Лагранж, порядок подгруппы делит порядок группы, отношение порядка группы к порядку подгруппы есть, таким образом,

- 9 -

целое число; оно называется индексом подгруппы относительно данной группы. Если G₁ - подгруппа группы G, то группа G раскладывается на сумму (объединение попарно не пересекающихся множеств) смежных классовпо подгруппе G₁; число смежных классов равно индексу подгруппы, одним из смежных классов является сама G₁, а остальные смежные классы могут быть получены путем умножения G₁ (т.е. всех ее элементов) слева или справа на некоторые подстановки, не входящие в G₁. Если разложение группы G на левые смежные классы по подгруппе G₁ и на правые смежные классы по подгруппе G₁ совпадают, то такую подгруппу G₁ группы G называют нормальной подгруппой.

Пример 3. Совокупность всех подстановок из 2-х элементов образует группу S₂ = {(1), (12)} порядка 2! = 2. Таблица умножения подстановок из S₂ имеет вид:

(1)(1) = (1), (1)(12) = (12),

(12)(1) = (12), (12)(12) = (1).

Отметим, что группа S₂ коммутативна, т.е. результат произведения любых двух ее элементов не зависит от порядка сомножителей. Далее, таблица обратных подстановок для S₂ имеет вид: (1)^-1 = (1), (12)^-1 = (12). Группа S₂ имеет только тривиальные подгруппы: саму S₂ и единичную подгруппу I = {(1)}. Разложение группы S₂ на смежные классы по подгруппе I имеет вид:

S₂ = {(1), (12)} = {(1)} + {(12)} = H₁ + H₂

Пример 4. Совокупность всех подстановок из 3-х элементов образует группу S₃ = {(1), (12), (13), (23), (123), (321)} порядка 3! = 6. Таблица умножения подстановок из S₃ имеет вид:

(1)(1) = (1), (1)(12) = (12), (1)(13) = (13), (1)(23) = (23),

(1)(123) = (123), (1)(321) = (321), (12)(1) = (12), (12)(12) = (1), (12)(13) = (123), (12)(23) = (321), (12)(123) = (13), (12)(321) = (23), (13)(1) = (13), (13)(12) = (321), (13)(13) = (1), (13)(23) = (123), (13)(123) = (23), (13)(321) = (12), (23)(1) = (23), (23)(12) = (123) (23)(13) = (321), (23)(23) = (1), (23)(123) = (12), (23)(321) = (13), (123)(1) = (123), 123)(12) = (23), (123)(13) = (12), (123)(23) = (13), (123)(123) = (321), (123)(321) = (1), (321)(1) = (321), (321)(12) = (13), (321)(13) = (23), (321)(23) = (12), (321)(123) = (1), (321)(321) = (123).

- 10 -

Отметим, что группа S₃ не коммутативна, так как например (12)(13) (13)(12) или (123)(13) (13)(123). Таблица обратных подстановок для S₃ имеет вид:

(1)^-1 = (1), (12) ^-1 = (12), (13) ^-1 = (13),

(23) ^-1 = (23), (123) ^-1 = (321), (321) ^-1 = (123).

Помимо тривиальных подгрупп, группа S₃ имеет три подгруппы порядка 2

S₂ = {(1), (12)}, S₂’ = {(1), (13)}, S₂” = {(1), (23)}

и одну подгруппу порядка 3

H₁ = {(1), (123), (321)}

Разложени группы S₃ на смежные классы по подгруппам H₁ и S₂ имеют вид:

S₃ = {(1), (123), (321)} + (12){(1), (123), (321)} =

{(1), (123), (321)} + {(1), (123), (321)}(12) =

= {(1), (123), (321)} + {(12), (13), (23)} = H₁ + H₂

S₃ = {(1), (12)} + (13){ (1), (12)} + (23){(1), (12)} =

= {(1), (12)} + {(13), (321)} + {(23), (123)} = P₁ + P₂ + P₃

S₃ = {(1), (12)} + {(1), (12)}(13) + {(1), (12)}(23) =

= {(1), (12)} + {(13), (123)} + {(23), (321)} = P₁ + Q₂ + Q₃

Отсюда следует, что подгруппа H₁ - нормальная, в то время как подгруппы S₂, S₂’, S₂” нормальными не являются.

Упражнение 3. Для каждой из групп подстановок

а) F₄ = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)},

б) G₄ = {(1), (1243), (14)(23), (1342)},

в) H₅ = {(1), (123), (321), (45), (123)(45), (321)(45)}

постройте таблицу умножения элементов группы, проверьте выполнение коммутативности, укажите к каждому элементу его обратный, установите

все нетривиальные подгруппы, проведите разложения на смежные классы по каждой подгруппе и проверьте нормальность подгрупп.

- 11 -