Основная теорема теории Галуа

Доказательства Руффини и Абеля имеют дело с общими (буквенными) уравнениями, т.е. с уравнениями, коэффициенты которых являются независимыми переменнывми величинами. Эти доказательства убеждают нас в том, что при n 5 не существует универсального радикального выражения, которое годилось бы как решение для всех уравнений данной степени. Но эти доказательства еще ничего не говорят о разрешимости в радикалах отдельных типов уравнений и просто конкретных численных уравнений, т.е. уравнений с конкретными численными коэффициентами.

Перенести результаты теории Лагранжа на численные уравнения удалось французскому математику Э.Галуа в 1831-1832 гг. Рассматривая численные уравнения, Галуа вводит понятие их группы как множества всех таких подстановок из S_n, которые не нарушают совокупности всех рациональных соотношений между корнями, т.е. не нарушают совокупности всех соотношений вида P_i (x₁ , x₂ , x₃ ,..., x_n) = 0, где P_i - полиномы относительно x₁ , x₂ , x₃ ,..., x_n с коэффициентами, рационально выражающимися через коэффициенты a₁ , a₂ , a₃ ,..., a_n исходного уравнения. Эта группа, получившая в дальнейшем название группы Галуа, определяет для каждого конкретного алгебраического уравнения алгебраическую структуру его корней. Отметим, что элементы будущей теории Галуа имелись еще в работах немецкого математика К.Гаусса (1797 г.) и Н.Х.Абеля (1826 г.).

Пример 5. Для уравнения

x³ – 13x – 12 = 0

имеем x₁ = -1, x₂ = -3, x₃ = 4. Рациональные соотношения между корнями имеют вид x₁ + 1 = 0, x₂ + 3 = 0, x₃ - 4 = 0.

Их совокупность нарушается при любой нетождественной подстановке.

Поэтому группа Галуа данного уравнения есть единичная группа I = {(1)}.

Пример 6. Для уравнения

x³ – 1 = 0

- 13 -

корни имеют вид , , .

Рациональные соотношения между корнями имеют вид:

x₁ + x₂ + 1 = 0, x₁ x₂ – 1 = 0, x₃ – 1 = 0

(для уравнения n -й степени существует не более n независимых рациональных соотношений между корнями из тех, которые не являютя симметричными относительно всех x₁ , x₂ , x₃ ,..., x_n, т.е. нарушаются хотя бы при одной подстановке из S_n). Группа Галуа G состоит из тождественной подстановки (1) и подстановки (12), меняющей местами x₁ и x₂, т.е. G = {(1), (12)}.

Пример 7. Для уравнения

x⁴ – x² – 6 = 0

корни имеют вид , . Совокупность рациональных соотношений между корнями

x₁x₂ + 3 = 0, x₁ + x₂ = 0, x₃ x₄ – 2 = 0, x₃ + x₄ = 0

не нарушается при тех и только тех подстановках, которые меняют местами x₁ с x₂ или x₃ с x₄. Поэтому группой Галуа данного уравнения будет группа G = {(1), (12), (34), (12)(34)}.

Пример 8. Для уравнения

x⁵ – 5x³ – 2x² + 10 = 0

имеем x₁ = + , x₂ = - , x₃ = , x₄ = x₃, x₅ = x₄, где и . Рациональные соотношения между корнями имеют вид

x₁ + x₂ = 0, x₁ x₂ + 5 = 0, x₃ + x₄ + x₅ = 0,

x₃ x₄ + x₄ x₅ + x₅ x₃ = 0, x₃ x₄ x₅ – 2 = 0.

Поэтому группа Галуа G данного уравнения имеет вид {(1), (12), (34), (45), (35), (345), (543), (12)(34), (12)(45), (12)(35), (12)(345), (12)(543)}.

Пример 9. Для уравнения

x⁵ – 5x³ – 2x² + 10 = 0

- 14 -

имеем x₁ = , x₂ = x₁, x₃ = x₁, x₄ = ,

x₅ = x₄, x₆ = x₄, где и .

Рациональные соотношения между корнями имеют вид

x₁ + x₂ + x₃ = x₄ + x₅ + x₅,

x₁ x₂ x₃ + x₄x₅ x₆ = 4,

x₁ x₄ = x₂ x₆ = x₃x₅ = 1.

Группа Галуа G имеет вид {(1), (12)(46), (13)(45), (23)(56), (14)(25)(36), (14)(26)(35), (15)(26)(34), (16)(24)(35), (615243), (342516), (123)(654), (321)(456)}.

Далее, группа G называется разрешимой, если в ее композиционном ряду

все подгруппы G_i (i = 1, 2, 3,..., m) имеют простые индексы. Здесь G_i - максимальная нормальная подгруппа группы G_i-1 , т.е. такая подгруппа группы G_i, разложения по которой на левые и правые смежные классы совпадают, и такая, что в G_i-1 нет нормальных подгрупп, содержащих G_i и отличных от G_i-1 и от G_i. Отметим, что разрешимость группы не зависит от выбора ее композиционного ряда.

Основная теорема теории Галуа гласит:

данное численное алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда разрешима его группа Галуа.

Пример 10. Для общего уравнения 3-й степени

x³ + a₁x + a₂ = 0

группой Галуа G будет S₃. Так как единственной ее нетривиальной нормальной подгруппой будет U₃ = {(1), (123), (321)}, то композиционный ряд имеет вид

Индексы подгрупп этого ряда 6: 3 = 2 и 3: 1 = 3 суть простые числа. Поэтому данное уравнение всегда разрешимо в радикалах.

- 15 -

Пример 11. Для общего уравнения 4-й степени

x⁴ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0

группой Галуа G будет S₄. Ее максимальной нормальной подгруппой будет U₄ = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (12)(13)=(123), (12)(14)=(124), (13)(14)=(134), (23)(24)=(234), (13)(12)=(321), (14)(12)=(421), (14)(13)=(431), (24)(23)=(432)}. В свою очередь, максимальной нормальной подгруппой группы U₄ будет подгруппа B₄ = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, а максимальной нормальной подгруппой группы B₄ будет подгруппа G₂ = {(1), (12)(34)}. Композиционный ряд имеет вид

Индексы подгрупп этого ряда 24: 12 = 2, 12: 4 = 3, 4: 2 = 2, 2: 1 = 2 суть простые числа. Поэтому данное уравнение всегда разрешимо в радикалах.

Пример 12. Для уравнения 4-й степени

x⁴ – x² – 6 = 0

группой Галуа будет (см. пример 7) группа G = {(1), (12), (34), (12)(34)}.

Ее порядок равен 4, она имеет следующие нетривиальные подгруппы:

G₁ = {(1), (12)}, G₂ = {(1), (34)}, G₃ = {(1), (12)(34)}

Каждая из этих подгрупп имеет индекс 2 и уже поэтому является нормальной. Композиционный ряд для группы Галуа данного уравнения имеет вид

Индексы подгрупп этого ряда 4: 2 = 2, 2: 1 = 2 суть простые числа. Поэтому данное уравнение разрешимо в радикалах.

Пример 13. Для общего уравнения 5-й степени

x⁵ + a₁x⁴ + a₂x³ + a₃x² + a₄ = 0

группой Галуа G будет S₅. Ее композиционный ряд имеет вид

S5 U5 I

где U5 - подгруппа четных подстановок, т.е. подстановок, оставляющих

- 16 -

неизменными произведение разностей корней (x_i – x_j) по всем i < j. Так как U₅ - подгруппа индекса 2 и порядка 5!: 2 = 60, а число 60 - составное, то общее (буквенное) уравнение 5-й степени неразрешимо в радикалах.

Пример 14. Для уравнения 5-й степени

x⁵ – 1 = 0

заметим прежде всего, что если некоторое число x 1 есть корень этого уравнения, то и числа x², x³, x⁴, x⁵ = 1 также будут корнями этого уравнения. На комплексной плоскости корни этого уравнения изобразятся вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность |x| = 1, причем если за x₁ обозначить вершину, аргумент которой равен 2 /5, то x₂ = x₁², x₃ = x₁³, x₄ = x₁⁴, x₅ = x₁⁵ = 1. Последние соотношения и составляют тогда совокупность независимых рациональных соотношений между корнями. Заметим, что любая подстановка вида (ij) или (ijk) из S₅ нарушает эту совокупность и, следовательно, не принадлежит группе Галуа G данного уравнения. Нетрудно также проверить, что из всех подстановок вида (ijkl) и (ij)(kl) только подстановки (1243), (1342), (14)(23) не нарушают совокупность рациональных соотношений между корнями. Поэтому группой Галуа данного уравнения (уравнения деления круга на 5 равных частей) будет циклическая группа

G = { (1), (1243), (14)(23), (1342) } = { (1243)ⁱ, i = 1, 2, 3, 4 }

Из нетривиальных подстановок этой группы 4-го порядка лишь подстановка (14)(23) является обратной к себе самой. Поэтому единственной нетривиальной подгруппой группы G будет G₁ = {(1), (14)(23)}. Композиционный ряд для группы Галуа имеет вид

,

индексы подгрупп этого ряда 4: 2 = 2 и 2: 1 = 2 суть простые числа. Поэтому рассматриваемое уравнение разрешимо в радикалах.

Пример 15. Для уравнения 6-й степени

x⁶ – 4x³ + 1 = 0

группой Галуа G будет (см. пример 9) {(1), (12)(46), (13)(45), (23)(56), (14)(25)(36), (14)(26)(35), (15)(26)(34), (15)(24)(35), (615243), (342516), (123)(654), (321)(456)}.

- 17 -

Группа G имеет подгруппу G₁ = { (1), (12)(46), (13)(45), (23)(56), (123)(654), (321)(456) } индекса 2. В свою очередь, группа G₁ имеет подгруппу G₁ = { (1), (123)(654), (321)(456) } индекса 2 и простого порядка 3. Поэтому композиционный ряд группы Галуа G данного уравнения имеет вид

Все индексы в этом ряду 12: 6 = 2, 6: 3 = 2, 3: 1 = 3 суть простые числа. Поэтому данное уравнение разрешимо в радикалах.

Упражнение 4. Для уравнений

а) x³ – 7x + 6 = 0, в) x⁴ – x³ – 3x + 3 = 0,

б) x³ – 4x – 15 = 0, г) x⁵ + x³ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 = 0

постройте группы Галуа и композиционные ряды для групп Галуа.

Упражнение 5. Укажите численные уравнения 5-й степени, группами Галуа которых являются соответственно S₂, S₃, S₄, F₄ = { (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }, H₅ = { (1), (123), (321), (45), (123)(45), (321)(45) }.