Статистические гипотезы и критерии согласия

Статистической гипотезой называется любое предположение, касающееся неизвестного параметра распределения в совокупности.

Идея проверки статистической гипотезы заключается в следующем: пусть есть основания предполагать, что неизвестный параметр распределения Θ имеет численное значение Θ ₀. такое предположение называют нулевой гипотезой (Н: Θ =Θ ₀).

По выборке объема рассчитана оценка . Должно быть известно распределение оценки , построенное в предположении справедливости нулевой гипотезы. В этом случаи можно выделить область на числовой оси Θ, вероятность попадания в которую значения мала при условии справедливости нулевой гипотезы (меньше заданного условия значимости α).

Такую область можно использовать в качестве критической.

Факт попадания в нее оценки будет означать, что нулевая гипотеза не верна.

Пример.

По ГОСТ: Нулевая гипотеза – это гипотеза, подлежащая проверке.

Нулевую гипотезу высказывают, а затем проверяют при помощи статистического критерия с целью поиска оснований для ее отвержения и принятия альтернативной гипотезы.

Альтернативная гипотеза – это каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой (Н ₁ или Н _А).

Обычно в качестве нулевой гипотезы принимают наиболее вероятную или наиболее значимую в данном исследовании гипотезу.

В качестве альтернативной – вторую по вероятности или значимости.

Если имеющиеся данные позволили отвергнуть нулевую гипотезу, то в качестве рабочей (правильной) принимают альтернативную.

Статистический критерий – это однозначно определенный способ проверки статистических гипотез.

Статистический критерий включает в себя известное теоретическое распределение, формулу или способ расчета статистики, подчиняющихся этому распределению, правила определения критической области и принятия решения.

Статистикой для проверки гипотез называют функцию результатов наблюдений g (x ₁, х ₂… х_n) однозначно связанную с выбранным статистическим критерием.

Все возможные значения статистики при помощи границ критической области делят на область принятия нулевой гипотезы (ОПН) и критическую область (КО).

Критической областью называется область со следующими свойствами: если значение применяемой статистики принадлежит данной области, то отвергают нулевую гипотезу, в противном случаи ее принимают.

Виды критических областей

а) левосторонняя б) правосторонняя в) двусторонняя

Виды критической области определяются принятой альтернативной гипотезой.

Если в альтернативной гипотезе применяется “> ” или “< ”, то область односторонняя, если “≠ ”, то двусторонняя.

Т.к. выводы по справедливости нулевой гипотезы делаются на основании статистических (случайных величин), то возможны ошибки.

Уровень значимости α – это вероятность ошибки первого рода.

Чем меньше принят уровень значимости, тем шире получается область принятия нулевой гипотезы (в пределе (α =0) от -∞ до +∞).

На практике наиболее часто принимают α =0.05, реже 0.1 или 0.01.

Алгоритм проверки статистических гипотез.

1. Формируют нулевую гипотезу (Н ₀).

2. Формируют альтернативную гипотезу (Н ₁).

3. Для данного конкретного случая выбирают статистический критерий.

4. Рассчитывают статистику, относящуюся выбранному критерию.

5. Определяют границу критической области и устанавливают какая из областей является критической при данной нулевой гипотезе.

6. Делают вывод о справедливости нулевой гипотезы, основываясь на факте попадания статистики в критическую область.