Случайные величины и их характеристики.

Чтобы физическая система могла выполнять определенные функции, к ней должно быть приложено вынужденное воздействие (входной сигнал). В отдельных случаях при анализе таких систем можно рассматривать входные сигналы как детерминированные и имеющие простое математическое представление. Однако на практике такие сигналы редко встречаются. Напротив, поведение входного сигнала чаще всего неопределенно и непредсказуемо, в связи с чем его следует рассматривать как случайный. Имеется множество таких примеров: речевые сигналы; случайные сигналы, полученные в ходе измерения некоторых характеристик и т.д.

На входах и выходах многих систем, кроме полезных сигналов присутствуют и нежелательные возмущения. Они почти всегда случайны по своей природе. Если, к примеру, сигнал с выхода усилителя с большим коэффициентом усиления подается на громкоговоритель, то последний трески, шорохи и щелчки.

Радиоприемник может принимать антенной помехи, связанные с работой промышленности и транспорта; электромагнитных бурь; космических лучей.

Следовательно, если бы даже и можно было создать идеальные приемники и усилители, принятый сигнал все равно оказался бы смешанным с шумом. И снова определение средней мощности и частотного спектра может принести большую пользу, чем мгновенное значение сигнала.

Так же, как и детерминированные случайные величины имеют свои характеристики.

Вероятность. Из всех подходов к определение вероятности чаще всего используют два: относительно-частотный и аксиоматический.

В основе теории вероятностей лежит понятие полного множества “элементарных исходов” или случайных событий

. Каждому событию составлено вещественное число , которое называется вероятностью этого события.

Принимаются следующие аксиомы:

1. вероятность неотрицательна и не превышает единицы: ;

2. если и - несовместимые события, то ;

3. сумма всех событий, содержащихся в , есть достоверное событие:

Измерение вероятностей. Обще принято оценивать вероятность события относительной частоты благоприятных исходов. Если проведено независимых испытаний, причем в из них наблюдалось событие , эмпирическая (выборочная) оценка вероятности , которую можно получить из этой серии, такова:

. (8.1)

Функция распределения и плотность вероятности.

Пусть - случайная величина. Описание статистических свойств можно получить, располагая неслучайной функцией вещественного аргумента, которая равна вероятности того, что случайное число из примет значение, равное или меньшее конкретного :

.

Функция называется функцией распределения случайной величины . Если может принимать любые значения, то является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежит на отрезке . Имеют место следующие предельные равенства:

.

Производная от функции распределения есть плотность распределения вероятности (или плотность вероятности0 данной случайной величины.

Очевидно, что , т.е. величина есть вероятность попадания случайной величины в интервал .

Для непрерывной случайной величины плотность вероятности представляет собой гладкую функцию.

Плотность вероятности должна быть неотрицательной: и удовлетворять условию нормировки

.

Усреднение. Моменты случайной величины. Результатами экспериментов над случайными величинами, как правило, служат средние значения тех или иных функций от этих величин. Если -известная функция от , то, по определению, ее среднее значение

(8.2)

Следует заметить следующее: наибольший вклад в среднее значение дают те участки оси , где одновременно велики как усредняемая функция , так и плотность вероятности .

В электронике широко применяются особые числовые характеристики случайной величины, называемые моментами. Момент -го порядка случайной величины есть среднее значение -й степени случайной переменной:

. (8.3)

Простыми являются моменты первого порядка, математическое ожидание

, , (8.4)

которое служит теоретической оценкой среднего значения случайной величины (в электронике это постоянная составляющая напряжения или тока).

Момент второго порядка

, (8.5)

Является средним квадратом случайной величины.

Используются также центральные моменты случайных величин, задаваемые следующей формулой:

,

. (8.6)

Важнейший центральный момент- так называемая дисперсия.

, (8.7)

Очевидно, что

. (8.8)

Величина , т.е. квадратный корень из дисперсии, называется средним квадратичным отклонением, которое служит для количественного описания меры разброса результатов отдельных случайных испытаний.

Равномерное распределение. Пусть некоторая случайная величина может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку , причем вероятность попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины равна. Тогда плотность вероятности

Функцию распределения находят путем интегрирования:

Математическое ожидание

Естественно совпадает с центром отрезка .

Дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятности

.

Гауссово (нормальное) распределение. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

, (8.9)

содержащих два числовых параметра и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке (рис.8.1)

Рис.8.1

Непосредственным вычислением можно убедится, что параметры гауссового распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: .

Функция распределения гауссовой случайной величины

.

Замена переменной дает

. (8.10)

Здесь - неэлементарная функция, так называемый интеграл вероятностей:

.

График функции (рис.8.2) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от нуля до единицы.

Рис.8.2

Плотность вероятности функции от случайной величины.

Пусть -случайная величина, связанная с однозначной функциональной зависимостью вида . Попадание случайной точки в интервале шириной и попадание случайной точки в отвечающий ему интервал шириной (рис.8.3) являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают: .

Рис.8.3

Отсюда

, (8.11)

где - функция, обратная по отношению к .

Если функциональная связь между и неоднозначна, так, что имеются несколько обратных функций , то формула (8.11) обобщается следующим образом:

. (8.12)

Характеристическая функция. В теории вероятностей большую роль играет статистическое среднее вида

, (8.13)

называемое характеристической функцией случайной величины . С точностью до коэффициента функции есть преобразование Фурье от плотности вероятности, поэтому

. (8.14)

Для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке ,

; (8.15)

для гауссовой случайной величины с заданными

. (8.16)

С помощью характеристической функции удобно находить плотность вероятности случайной величины, подвергнутой функциональному преобразованию.