Случайный процесс

Теория случайных величин изучает вероятностные явления “в статике”, рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты экспериментов. Для описания сигналов, которые отображают развивающиеся во времени случайные явления, методы классической теории вероятностей оказываются недостаточными. Подобные задачи изучает – теория случайных процессов.

По определению, случайный процесс - это особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени принимаемые его значения являются случайными.

Ансамбли реализаций. Имея дело с детерминированными сигналами, мы отображаем их функциональными зависимостями или осциллограммами. Если же речь идет о случайных процессах, фиксируется на определенном промежутке времени мгновенные значения случайного сигнала, то получаем лишь единственную реализацию случайного процесса. Случайный процесс представляет бесконечную совокупность таких реализаций, образующих статический ансамбль. Например, ансамблем является набор сигналов , которые можно одновременно наблюдать на выходах совершенно одинаковых генераторов шумового напряжения (рис.8.3)

Рис.8.3

Случайные процессы, образованные реализациями, зависящими от конечного числа параметров, принято называть квазидетерминированными процессами.

Плотности вероятности случайных процессов.

Пусть - случайный процесс, заданный ансамблем реализаций, а - некоторый произвольный момент времени. Фиксируя величины , получаемые в отдельных реализациях, осуществляем одномерное сечение данного случайного процесса и наблюдаем случайную величину . Ее плотность вероятности называют одномерной плотностью вероятности процесса в момент времени . Наряду с одномерной плотностью используются - мерная плотность вероятности случайного процесса .

Моментные функции случайных процессов.

Менее детальные, но вполне удовлетворительные в практическом смысле характеристики случайных процессов можно получить, вычисляя моменты тех случайных величин, которые наблюдаются в сечениях этих процессов. Поскольку в общем случае эти моменты зависят от временных аргументов, они получили название моментных функций.

Наибольшее значение имеют три моментных функции низких порядков, называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции.

Математическое ожидание

(8.17)

есть среднее значение процесса в текущий момент времени ; усреднение проводятся по всему ансамблю реализаций процесса.

Дисперсия

(8.18)

Позволяет судить о степени разброса мгновенных значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном сечении , относительно среднего значения.

Двумерный центральный момент

(8.19)

называется функцией корреляции случайного процесса . Эта моментная функция характеризирует степень статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются при и .

Детерминированные и недетерминированные случайные процессы.

Каждая реализация ансамбля времени и ее будущие значение не могут быть точно предсказаны на основе зарегистрированных ранее значений, то такой случайный процесс является недетерминированным. Почти все существующие в природе случайные процессы являются недетерминированными.

Однако имеется возможность определить случайные процессы, для которых будущие значения какой-либо реализации можно точно предсказать, зная прошлые значения. Такие случайные процессы называют детерминированными (квазидетерминированными). В качестве примера рассмотрим случайный процесс

,

где и - постоянные, -случайная величина с определенным распределением, т.е. для какой-то одной реализации величина имеет одно и то же значение для всех , но для других членов ансамбля- другие значения. В этом случае имеют место случайные изменяемые только по ансамблю реализаций, но не по времени.

В качестве второго примера детерминированного процесса рассмотрим периодический случайный процесс

,

где и - независимые случайные величины, которые являются фиксированными для какой-то одной реализации. Не является необходимым, требование, чтобы детерминированные процессы были периодическими.