Полная энергия жидкого объема. Закон сохранения энергии в интегральном виде.

Для записи такого фундаментального физического закона, как закон сохранения энергии, необходимо установить, из каких видов энергии складывается полная энергия жидкого объема, определить виды притоков энергии извне и учесть превращения одного вида энергии в другой.

Внутренняя энергия.

Рассмотрим сначала некоторую покоящуюся однородную массу жидкости М в объеме τ. Пусть О означает ее исходное состояние, которое, вообще говоря, определяется некоторым на­бором параметров (например, давлением, температурой и др.). В результате нагрева, сжатия и других воздействий масса жид­кости перейдет в новое состояние, определяемое другими значе­ниями параметров. Переход массы жидкости из исходного по­ложения О в другое связан с изменением Δ ε энергии. Будем считать, что в исходном состоянии масса М имела запас энергии ε ₀. Тогда можно ввести величину

(1.3.42)

Если каким-то образом выбрана величина ε ₀ и известно Δ ε (экспериментально или теоретически), то для любого нового со­стояния величина ε может быть определена по формуле (1.3.42). Таким образом, через Δ ε определяется величина внутренней энергии ε данной массы жидкости. Естественно ввести вели­чину Е — внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы. В общем случае неоднородной движущейся жидкости Е — функ­ция координат и времени:

(1.3.43)

Из определения (1.3.43) следует, что запас внутренней энергии в массе dm равен dε = Edm = Eρ dτ. Внутренняя энергия конеч­ной массы жидкости в объеме τ

Выражение для Е обычно известно из физики. Для совер­шенного газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, уравнение состояния которого есть уравнение Кла­пейрона р = pRT, внутренняя энергия зависит только от тем­пературы. Выражение для внутренней энергии имеет вид

где с_ν – теплоемкость при постоянном объеме. Здесь в качестве исходного берется состояние, в котором абсо­лютная температура равна нулю. Когда нет процессов диссо­циации и ионизации, внутренняя энергия состоит из энергии по­ступательного Е_п, вращательного Е_вр и колебательного Е_к дви­жений молекул. Для одноатомного газа с_ν = const и

Для случая двухатомного газа в определенном диапазоне температур, когда практически возбуждены только поступательные и вращательные энергии молекул, теплоемкость постоянна и

При более высоких температурах начинает сказываться возбуждение колебательной энергии молекул. Теполоемкость колебательных степеней свободы зависит от температуры, и внутренняя энергия может быть представлена в виде

Полная энергия жидкого объема.

Если жидкость движется, то она обладает кинетической энер­гией. Кинетическая энергия dT_K массы dm, движущейся со скоростью v, равна

Кинетическая энергия массы, заключенной в объеме τ

Полной энергией называется сумма кинетической и внутренней энергии данной массы газа

Запишем закон сохранения энергии в интегральной форме.

Изменение полной энергии некоторой массы жидкости за промежуток времени от t₁ до t₂ происходит за счет работы мас­совых и поверхностных сил, за счет притока за тот же проме­жуток времени тепловой энергии вследствие наличия объемно-распределенных источников тепла, а также притока тепла через поверхность. Если обозначить через А_τ работу массовых сил, A_s — работу поверхностных сил, Q_τ — объемное поступление энергии, Q_s- количество тепла, поступившее через поверхность за время от t₁ до t_2, то закон сохранения энергии запишется в виде

(1.3.44)

Здесь - значение полной энергии в момент времени t. В соответствии с определением полной энергии имеем

(1.3.45)

Вычислим слагаемые, входящие в правую часть (1.3.44)

Работа, совершенная массовыми силами за конечный промежуток времени от t₁ до t₂ будет

(1.3.46)

Работа поверхностных сил за конечный промежуток времени

(1.3.47)

Энергия, поступившая в объем τ за время от t₁ до t₂ будет

(1.3.48)

За время от t₁ до t₂ в объем τ через поверхность S проникнет количество тепла

(1.3.49)

Подставляя (2), (3), (4), (5), (6) в (1), получаем интегральную запись закона сохранения энергии для конечного промежутка времени

(1.3.50)

Разделим обе части равенства на разность t₂-t₁ и устремим эту разность к нулю, получим еще одну запись закона сохранения энергии

(1.3.51)

Таким образом, скорость изменения полной энергии некоторой массы жидкости равна сумме мощности, развиваемой объемными и поверхностными силами, скорости объемного поступления энергии и потока энергии через поверхность.