![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Модели идеальной жидкости и вязкой ньютоновской жидкости. Тензоры напряжения для них.
Введем модели сплошной среды, которые отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. В рассматриваемых моделях тензор напряжений симметричен. Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распространяется свойство, которое наблюдается в жидкости при равновесии или ее движении как абсолютно твердого тела. В реальных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. Будем считать жидкость идеальной. Во всех случаях справедлива формула Коши. τ n = τ x cos (n, ˆ х) + τ ycos (nˆ, у) + τ zcos (n ˆ, z). (1.3.26) По определению идеальной жидкости τ п = рпп, τ х = рхi, τ y = рyj, τ z = pzk. (1.3.27) Подставив (1.3.27) в (1.3.26), получим рпп = pxi cos (n, ˆ х) + руj cos (n, ˆ у) + pzk cos (n, ˆ z). (1.3.28) Поскольку n = cos (n, ˆ х) i + cos (n, ˆ у) j + cos (n, ˆ z) к, (1.3.29) из (1.3.28) следует, что pn = px = py = pz = — p. (1.3.30) Формулы (1.3.27) перепишутся в виде
τ x = -pi, τ y=pj, τ z=-pk. (1.3.31) Из (1.3.31) следует, что в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентировки площадки. Величину р называют давлением. Из (1.3.31) следует, что составляющие тензора напряжений τ ii = — р, τ ik = 0 (i ≠ k). Тензор напряжений идеальной жидкости будет иметь вид
В тензор (1.3.32) входит только величина p – скаляр. Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью υ. Опыт показывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине,
Здесь μ — коэффициент, который зависит от свойств жидкости. Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верхней — равна скорости пластины. Распределение скоростей поперек линейно зависит от расстояния
В силу (1.3.34)
Для многих жидкостей равенство (1.3.33) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент μ называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) является хаотическое движение молекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга. В соответствие с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае. Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия: 1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения; 2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций; 3) жидкость изотропна, т. е, ее свойства одинаковы по всем направлениям. Условие 1) означает, что τ ik = О при i≠ k, если все ε mn = 0. Условие 2) означает, что τ ik могут быть представлены через ε mn (учитывая симметрию тензора напряжений). Условие З) означает, что коэффициенты α ik не зависят от выбора системы координат. В главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и главными осями тензора напряжений.
Равенство (1.3.35) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в каких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам. Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид
Для составляющих получим
Получим окончательное выражение для составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости:
В формулы (1.3.36), (1.3.37) входят два параметра: λ и μ. Если λ =μ =0, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент μ, называют коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), λ — вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объемной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости называют не λ, а величину λ ′ = λ +⅔ μ.. Наряду с μ для несжимаемой жидкости часто рассматривают величину ν, называемую кинематическим коэффициентом вязкости
Здесь α берется из эксперимента, μ 0 – значение коэффициента вязкости при Т=Т0. Второй коэффициент вязкости λ исследовать трудно. В случае, если жидкость несжимаема, то divv = 0 и он выпадает из уравнений.
|