Функция тока и потенциал скорости.

Понятие и важнейшие свойства функции тока. Определение функции тока по заданному полю скорости. Потенциал скорости. Потенциальные течения. Плоские течения. Примеры определения потенциала скорости по заданному полю скорости.

Функция тока и потенциал скорости

Для определения поля скорости в общем случае нужно найти три скалярные функции координат и времени v_x, v_y и v_z. Однако в некоторых случаях движения существует такая скалярная функ­ция, производные которой по координатам равны проекциям ско­рости. В этих случаях для определения поля скорости достаточно найти одну лишь эту функцию, что значительно упрощает задачу. Такой функцией в одних случаях служит функция тока, в других— потенциал скорости.

Функция тока для плоско-параллельного движения несжимаемой жидкости

Понятие и важнейшие свойства функции тока. Рассмотрим плоско-параллельное движение. Функцией тока будем называть такую скалярную функцию координат и времени, градиент которой равен по модулю скорости, но повернут относительно вектора скорости на 90°, в одном и том же направлении во всех точках (рис. 1.29).

Располагая оси Ох и Оу так, чтобы поворот от первой оси ко

второй происходил бы в том же направлении, что поворот от v к grad Ψ, имеем:

, .

Иными словами, Ψ это такая функция, производные которой по координатам удовлетворяют соотношениям:

, (1.2.22)

Отсюда следует, что если Ψ ₁, есть функция тока, то и Ψ ₁ + С,
где С - произвольная постоянная; также будет функцией тока.
Иначе говоря, функция тока определяется с точностью до аддитивной произвольной постоянной.

•

Рис.1.29

Если известна функция тока, то равенство (1.2.22) позволяет без труда найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определе­ние функции тока по полю скорости, разрешима не всегда, так как функция тока существует не во всех случаях движения. Действи­тельно, для существования функции Ψ, удовлетворяющей усло­виям (1.2.22), необходимо и достаточно, чтобы имело место равен­ство

,

Так как лишь в этом случае смешанные вторые производные и ,

определяемые из (1.2.22), будут равны. Это значит, что

функция существует в том и только в том случае, когда выпол­няется условие

.

Иначе говоря, введенная вышеуказанным образом функция тока существует лишь в случае плоскопараллельного движения несжи­маемой жидкости. Следует указать, что функции тока, опреде­ляемые, правда, по-иному, могут быть введены также и для пло­скопараллельного движения сжимаемой жидкости и для осесимметричного потока.

Важнейшим свойством функции тока является следующее: во всех точках линии тока функция тока имеет одну и ту же вели­чину. В самом деле, поскольку grad Ψ , а вектор направлен по касательной к линии тока, то проекция grad Ψ на направление линии тока, т. е. производная , равна нулю, и, значит, в направлении линии тока Ψ

не меняется. Это означает, что эквискалярные линии функции Ψ, т. е. линии Ψ =const, представляют собой линии тока.

Рис. 1.30

Докажем другое свойство функ­ции тока: разность между значениями функции тока в двух точках равна объему жидкости, протекаю­щей за единицу времени между этими точками, рассчитанному на единицу высоты потока.

Действительно, указанный объем равен, очевидно, потоку Q скорости через цилиндрическую поверхность σ, опирающуюся на линию АВ, которая соединяет обе точки А и В, причем высота поверхности σ равна единице.

.

Но из рис. 1.30 видно, что , т.е. . Поэтому

.

Определение функции тока по заданному полю скорости

Эта задача сводится к отысканию функции по известным частным производным.

Пример.

Найдем функцию F, удовлетворяющую следующим условиям:

, .

Функция F существует не при любых f₁ и f₂, а лишь в том случае, когда последние функции удовлетворяют условию

, так как только в этом случае смешанные вторые производные и , будут равны. В нашем случае это условие выполняется и, значит, функция F существует. Для отыскания ее используем сначала первое из условий. Из него получим , где о величине можно сказать лишь то, что она не зависит от x, но может зависеть и от y. Действительно, дифференцируя последнее равенство по x, можно убедиться в том, что оно равносильно первому из равенств. Для определения функции используем теперь второе из условий, для которого необходимо равенство

.

Отсюда находим , ,

где С – произвольная постоянная.

Окончательно .

При отыскании функции тока задача сводится к определению функции Ψ, удовлетворяющей условиям и .

Приведем примеры отыскания .

Плоский источник. Так как в этом случае , , то для определения имеем равенства:

, .

Условия существования при этом выполняется, так как выражения и получены с помощью допущения о несжимаемости жидкости. Используем первое из равенств и находим

.

Для определения используем второе равенство

,

Откуда =0, т.е. . Таким образом,

.

Уравнение линий тока плоского источника найдем, приравняв функцию тока постоянной величине. Тогда получим , что равносильно равенству или y=C₄x, где С₄ – произвольная постоянная. Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, исходящие из начала координат.

Безвихревое движение жидкости. В случае вращения против часовой стрелки имеем:

, .

Поэтому для определения Ψ служат равенства:

, .

Условие существования Ψ выполняется, так как жидкость является несжимаемой. Находим .

Уравнение линий тока Ψ =const сводится к уравнению семейства концентрических окружностей x²+y²=const.

В случае безвихревого вращения по часовой стрелке будем иметь

.

Потенциал скорости

Понятие и важнейшие свойства потенциала скорости

Потенциалом скорости называется скалярная функция φ, гра­диент которой равен скорости:

s w: val=" 28" /> < w: lang w: fareast=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> v< /m: t> < /m: r> < /m: e> < /m: acc> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> . (1.2.23)

Иными словами, φ — это функция, удовлетворяющая условиям:

, , . (1.2.24)

или условию

. (1.2.25)

Очевидно, что если некоторая функция φ удовлетворяет равен­ствам (1.2.23), (1.2.24) или (1.2.25), то и функция φ +С, где С — про­извольная постоянная, будет удовлетворять им. Таким образом, потенциал скорости определяется с точностью до аддитивной про­извольной постоянной.

Эквискалярные поверхности функции φ называются эквипотен­циальными поверхностями.

Если потенциал скорости известен, то равенства (1.2.24) позво­ляют тотчас же найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определение φ по известному полю скорости, разрешима не всегда, так как потенциал скорости существует лишь при выполнении опре­деленных условий. В самом деле, в математике показывается, что для существования функции φ, удовлетворяющей условиям (1.2.24) или условию (1.2.25), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

, , . (1.2.26)

(очевидно, что лишь в этом случае смешанные вторые производ­ные от φ не будут зависеть от порядка дифференцирования). Равенства (1.2.26) равносильны условиям

, , ,

или условию

rot =0.

С учетом этих равенств, из теоремы Стокса следует, что

.

Таким образом, для существования потенциала скорости необ­ходимо и достаточно, чтобы движение было безвихревым. Отсюда вытекает, в частности, что в случае потенциального движения ли­нии тока не могут быть замкнуты. Действительно циркуляция по замкнутой линии тока не может быть равна нулю, ибо суммирова­ние проекций скорости идет по всему контуру с одним и тем же знаком. С другой стороны, в нашем случае Г = 0. Полученное про­тиворечие и доказывает высказанное выше утверждение.

Укажем важнейшие свойства φ.

1. Эквипотенциальные поверхности и линии тока взаимно ортогональны, так как в каждой точке поверхности φ = const вектор grad нормален к поверхности и в то же время совпадает по направлению с касательной к линии тока. (Очевидно, что в на­правлении движения φ растет). Это же означает, что изолинии φ и Ψ взаимно ортогональны.

2. В случае несжимаемой жидкости потенциал скорости являет­ся гармонической функцией. В самом деле, условие несжимае­мости означает, что проекции скорости удовлетворяют равенству

.

Вводя в него выражения v_x, v_y, v_z из равенства (1.2.24), получаем

.

т. е. потенциал скорости представляет собой решение уравнения Лапласа (является функцией гармонической).

Поэтому задачи отыскания поля скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости сводятся к отысканию решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям, которыми одна задача собственно и отличается от другой.

Примеры определения потенциала скорости. Задача об опре­делении потенциала скорости по заданному полю скорости сво­дится к отысканию функции по ее частным производным. В слу­чае плоско-параллельного движения задача решается подобно тому, как находится функция тока. Приведем примеры определе­ния φ.

Плоский источник. В этом случае движение является безвихревым, т. е. потенциал скорости существует и для его определения служат уравнения:

, ,

откуда получаем

φ =Qln(x²+y²)+const.

Эквипотенциальные поверхности φ = const определяются уравнением x²+y² = const, т.е. представляют собой семейство соосных круговых цилиндров, ось которых совпадает с осью Oz.

В случае плоского стока

φ = - Qln(x²+y²)+const.

Безвихревое вращение жидкости. Если жидкость вращается против часовой стрелки, то для определения φ имеем уравнения:

,

из которых находим