Теорема Томпсона

Ускорение циркуляции равно циркуляции ускорения.

Рис. 1.25

Для доказательства произведем дифференцирование в правой части равенства (1.2.14):

Первое слагаемое правой части выражает собой вклад в из­менение циркуляции, обусловленный исключительно изменением проекции скорости. Второе слагаемое представляет собой часть изменения, обусловленную удлинением (в алгебраическом смысле) элементов контура при его перемещении. Производная вы­ражает собой величину удлинения отрезка δ l за единицу времени. Легко видеть, что это удлинение может произойти лишь в резуль­тате различия касательных составляющих скорости на концах элемента (рис. 1.26). За малый отрезок времени ∆ t начало элемента пройдет в направлении касательной расстояние , конец -

расстояние и приращение длины элемента окажется равным . За единицу времени удлинение составит . Таким образом,

и

поскольку интегрирование по замкнутому контуру в том случае, когда под интегралом находится полный дифференциал, дает нуль. Поэтому

что и доказывает теорему. Итак,

, (1.2.15)

Рис. 1.26