![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тензор напряжений и физический смысл его компонент
Будем исходить из формулы Коши. Формула Коши τ n = τ x cos (n, ˆ х) + τ ycos (nˆ, у) + τ zcos (n ˆ, z). (1.3.19)
дает возможность вычислить напряжение в точке на площадке с нормалью n, если известны τ x, τ y, τ z — напряжения, действующие на площадки, перпендикулярные соответствующим осям координат. Из формулы Коши следует, что напряжение в точке как угодно ориентированной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин:
Докажем, что таблица (1.3.20) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования τ ik при переходе от одной системы координат х, у, z к другой х', у', z'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j, k и i', j', k'. Получим τ x′ = τ xα 11 + τ yα 12 + τ zα 13 τ y′ = τ xα 21 + τ yα 22 + τ zα 23 (1.3.21) τ z′ = τ xα 31 + τ yα 32 + τ zα 33
Рассмотрим одну из этих формул. Представим τ х' через проекции τ x′ x′, , τ x′ y′, , τ x′ z′ на оси х', у', z'. τ x′ = i′ τ x′ x′ + j′ τ x′ y′ + k′ τ x′ z′. (1.3.22) Соответственно τ x, τ y, τ z — через проекции на оси х, у, z: τ x = iτ xx + jτ xy + kτ xz τ y = iτ yx + jτ yy + kτ yz (1.3.23) τ x = iτ zx + jτ zy + kτ zz Подставляя (1.3.22) и (1.3.23) в (1.3.21) получаем векторное равенство
i′ τ x′ x′ + j′ τ x′ y′ + k′ τ x′ z′ = α 11(iτ xx + jτ xy + kτ xz) + α 12 (iτ yx + jτ yy + kτ yz) + + α 13 (iτ zx + jτ zy + kτ zz) (1.3.24) Умножая последовательно (1.3.24) скалярно на i′, j', k', получим выражения для τ x′ x′ , τ x′ y′ , τ x′ z′ через составляющие таблицы Т в координатах (х, у, z). Выпишем одно из равенств (заметим, что (i'· i) = α 11, (i'· j)= α 12, (i'· k)= α 13): τ x′ x′ = α 11 α 11τ xx + α 11 α 12τ xy + α 11 α 13τ xz + α 12 α 11τ yx + α 12 α 12τ yy + α 12 α 13τ yz + α 13 α 11τ zx + α 13 α 12τ zy + α 13 α 13τ zz. (1.3.25)
Получим аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (1.3.25) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга. Тензор Т = ||τ ik|| называется тензором напряжений. Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор τ x — напряжение на площадку, перпендикулярную оси х (рис. 1.29): τ x = τ xxi + τ xyj + τ xzk. Здесь τ xx — нормальное напряжение; τ xy, τ xz, являющиеся проекциями вектора τ x на оси координат у и z, есть напряжения, касательные к площадке.
Рис. 1.29 Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нормальные составляющие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляющие напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям координат.
|