Случайной величины

Законом распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е пар чисел (x_i, y_j) и их вероятностей p(x_i, y_j) . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 4.1).

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец - все возможные значения составляющей У. в клетке, стоящей на пересечении «столбца x_i» и «строки y_j», указана вероятность p(x_i, y_j) того, что двумерная случайная величина примет значение (x_i, y_j).

Так как события (Х= x_i, У= y_j) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещённых во всех клетках таблицы, равна единице.

Таблица 4.1

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из её составляющих. Действительно, например, события (Х=х₁; У=у₁), (Х=х₁; У=у₂), …, (Х=х₁; У=у_m) несовместны, поэтому вероятность Р(x₁) того, что Х примет значение х₁, по теореме сложения такова: Р(x₁) = p(x₁, y₁)+ p(x₁, y₂)+ … + p(x₁, y_m).

Таким образом, вероятность того, что Х примет значение х₁, равна сумме вероятностей «столбца x₁». В общем случае, для того, чтобы найти вероятность Р(Х= x_i), надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично, сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность Р(У= у_j).

Пример 4.2. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения (табл. 4.2.1).

Решение. Сложив данные по столбцам, получим вероятности возможных значений Х, а именно: Р(х₁)=0, 16; Р(х₂)=0, 48; Р(х₃)=0, 36. Закон распределения составляющей Х двумерной случайной величины имеет вид Х х₁ х₂ х₃ Проверка:

Р 0, 16 0, 48 0, 36 0, 16+0, 48+0, 36=1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений У, а именно: Р(у₁)=0, 60; Р(у₂)=0, 40. Закон распределения составляющей У будет иметь вид:

У у₁ у₂

Р 0, 60 0, 40 Проверка: 0, 60+0, 40= 1.