Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (Х, У) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть (х, у) – пара действительных чисел.

Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у, обозначим через F(х, у). Если х и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(х, у), т.е. F(х, у) есть функция от х и у.

Функцией распределения двумерной случайной величины (Х, У) называют функцию F(х, у), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:

F(x, y) = P(X< x, Y< y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х, у) есть вероятность того, что случайная точка (Х, У) попадёт в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 4.2).

Пример.4.3. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая Х двумерной случайной величины (Х, У) примет значение Х< 2 и при этом составляющая У примет значение У< 3, если известна функция распределения системы

Решение. По определению функция распределения двумерной случайной величины представляет собой F(x, y) = P(X< x, Y< y).

Положив х=2, у=3, получим искомую вероятность P(X< 2, Y< 3)= F(2, 3)=