Численное интегрирование. Введение в методы численного интегрирования: постановка задачи, обусловленность, простейшие квадратурные формулы

Введение в методы численного интегрирования: постановка задачи, обусловленность, простейшие квадратурные формулы, квадратурные формулы Гаусса

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции . Чаще всего при приближенном вычислении определенного интеграла заменяют подынтегральную функцию некоторым обобщенным интерполяционным многочленом:

, где — погрешность (остаточный член) интерполяции. После несложных вычислений получается квадратурная формула интерполяционного типа :

.

Здесь — узлы квадратурной формулы, — коэффициенты квадратурной формулы, — погрешность или остаточный член квадратурной формулы. Важно понимать, что узлы и коэффициенты квадратурной формулы не зависят от подынтегральной функции, т.е. вычисленные однажды они позволяют вычислять приближенное значение интеграла для широкого класса подынтегральных функций.

Простейшие квадратурные формулы

Простейшие квадратурные формулы получаются из геометрических соображений.

Если на , то — формула прямоугольников.

Если применить линейную интерполяцию по точкам , то получим — формулу трапеций.

Если же аппроксимировать параболой, проходящей через точки, и , то получим — формулу Симпсона.

- формула Тейлора для функции в точке . Пусть , заменим производные функции в точке .формулами разностных производных: . Интерполяционный многочлен будет иметь вид:

. Проинтегрировав его получаем формулу Симпсона:

Эти три формулы часто называют простейшими квадратурными формулами.