Погрешность простейших квадратурных формул.

Теорема 1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема (для формулы Симпсона — четырежды) на отрезке ..Тогда для квадратурных формул справедливы оценки погрешностей:

Для формулы прямоугольников .

, используем разложение Тейлора в окрестности подходящей точки

Совершенно аналогично получаются оценки и .

Составные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Для повышения точности численного интегрирования применяют составные квадратурные формулы. Разбивают отрезок на четное число одинаковых отрезков длины точками , и на каждом отрезке применяют квадратурную формулу. Полученные результаты суммируют.

Составная формула прямоугольников: .

Составная формула трапеций: .

Составная формула Симпсона: .

Оценка погрешности квадратурных формул по правилу Рунге. Любая попытка сравнить погрешности простейших квадратурных формул упирается в необходимость оценить значения соответствующей производной подынтегральной функции. Поэтому обычно, вместо приведенных формул погрешностей квадратурных формул, применяют правило Рунге.

Покажем, как получается оценка по Рунге на примере формулы прямоугольников.

Вычислим по формуле прямоугольников приближенное значение интеграла с шагом и приближенное значение интеграла с шагом .

Имеем: и .

Вычтем одно равенство из другого:

, и, следовательно, .

Таким образом, погрешность квадратурной формулы прямоугольников с шагом , равна и уточненная по Рунге формула прямоугольников имеет вид .

Аналогично получаются уточненные по Рунге формулы трапеций и Симпсона:

, . При этом за погрешность вычисления интеграла для формулы трапеций полагаем равной , а для формулы Симпсона — равной .

Оценки по Рунге позволяют строить так называемые " адаптивные" алгоритмы. Адаптивные алгоритмы состоят в следующем. Исходя из некоторого начального значения шага h, вычисляем погрешность по правилу Рунге. Если величина погрешности получается больше требуемой, делим шаг пополам и повторяем вычисления. Делим шаг пополам до тех пор, пока величина погрешности не станет меньше заданной при постановке задачи погрешности. Более тонкие адаптивные алгоритмы не только уменьшают, но и увеличивают шаг так, чтобы проводить интегрирование с максимально возможным шагом, но так, чтобы погрешность интегрирования не превысила заданную погрешность.