Численное решение дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, у')=0 или у'=f(x, y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x, y).

1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

• вариант 1 (аналитический) у=f (x, y)

• вариант 2 (графический)

	y1=y0+f(x0, y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi, yi)
k1=h*f(xi, yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h	Аналогично варианту 1

Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

у_i+1=у_i+hf(x_i+h/2, y_i+hf(x_i, y_i)/2),

x_i+1=x_i+h.

1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

у_i+1=у_i+(h/2)[f(x_i, y_i)+f(x_i, +h, y_i+hf(x_i, y_i))],

x_i+1=x_i+h.

1. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

у_i+1=у_i+(k₁+4k₂+k₃)/6,

k₁=hf(x_i, y_i),

k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

k₃=hf(x_i+h, y_i+2k₂-k₁),

x_i+1=x_i+h.

1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

у_i+1=у_i+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6,

k₁=hf(x_i, y_i),

k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

k₃=hf(xi+h/2, y_i+k₂/2),

k₄=hf(x_i+h, y_i+k₃),

x_i+1=x_i+h,

где у_i+1, у_i - значения искомой функции в точках x_i+1, x_i соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y=y₀.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x² при y|_x=0 =1. Определить значение функции при x_k=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.

Таблица

N	Этап программирования	Выполнение
1.	Постановка задачи	Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1
2.	Математическое описание	Аналитическое решение. dy/dx=x2 y=1+x3/3, yk=y(1)=1+1/3=4/3. Метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера 1. Модифицированный метод Эйлера 2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
3.	Разработка структограммы	Выполнить самостоятельно
4.	Написание программы	Выполнить самостоятельно
5.	Отладка и получение результатов	Выполнить самостоятельно