II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Дан произвольный параллелепипед , О – его центр

Задача 1. Дан произвольный параллелепипед , О – его центр. Не выполняя дополнительных построений, найдите вектор .

Решение. Так как (рис. 7), то . По правилу треугольника следовательно, . Так как то (по правилу нахождения разности векторов).

Наконец,

Ответ: .

Задача 2. В треугольнике АВС медианы , , пересекаются в точке М. Выразите вектор через векторы и .

Решение. (рис. 8), .

Так как , а , то

Ответ:

Задача 3. В треугольнике АВС точки М и Р – середины сторон АС и ВС соответственно. Докажите, что .

Решение. По правилу нахождения разности (рис. 9). Так как М и Р – середины сторон АС и ВС, и . Поэтому .

Задача 4. Точки P и Q – середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что середины отрезков AС, BD и PQ лежат на одной прямой.

Решение. Пусть M, L и K – середины отрезков AС, BD и PQ соответственно (рис. 10). Чтобы доказать, что точки M, L и K лежат на одной прямой, докажем, что .

По правилу многоугольника

.

Так как векторы , а также векторы противоположны, то и , поэтому , откуда . Учитывая, что и , получим:

. (1)

По правилу многоугольника

;

, откуда

. (2)

Выразим из равенства (1)и подставим в равенство (2):

Из определения произведения вектора на число 2 следует, что .

Замечание. Из векторного равенства следует, что точка К является серединой отрезка ML.