II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Решите методом Гаусса системы уравнений:

Задача 1. Решите методом Гаусса системы уравнений:

а) б)

в)

Решение. а) Составим расширенную матрицу В и преобразуем ее к ступенчатому виду: .

Умножим первую строку матрицы В последовательно на – 1 и 2 и сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим матрицу, эквивалентную данной: .

Вторую строку умножим на – 3 и сложим с третьей строкой. Получим матрицу, эквивалентную исходной: .

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому.

Ответ:

б) Записывая соответствующую матрицу и совершая преобразования, получаем:

.

Третья матрица получена из предыдущей переменой местами последних трех строк. Последней матрице соответствует система уравнений:

Эта система несовместна, т.к. никакие значения неизвестных не могут удовлетворить ее третьему уравнению.

Ответ: решения нет.

в) Преобразуя матрицу, получаем:

.

Таким образом, данная система сводится к системе двух уравнений относительно четырех неизвестных:

общее решение которой определится формулами: где могут принимать любые действительные числа.

Ответ: .

Задача 2. Решите систему уравнений матричным способом:

Решение. Данную систему запишем в матричном виде АХ = В, где

Вычисляем определитель матрицы А и находим матрицу :

По формуле получаем решение системы:

т.е.

Ответ:

Задача 3. Решите систему уравнений по формулам Крамера:

Решение. Вычислим определитель данной системы:

Следовательно, система имеет единственное решение. Заменив в определителе системы последовательно первый, второй и третий столбцы столбцом из свободных членов и вычислив соответствующие определители, будем иметь:

Согласно формулам Крамера получим:

Ответ: