II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Вычислите определитель .

Задача 1. Вычислите определитель .

Решение. По определению определителя второго порядка

Ответ:

Задача 2. Вычислите определитель третьего порядка тремя способами:

1) с помощью определения;

2) с помощью разложения по элементам какой-либо строки (столбца);

3) преобразованием его с помощью свойств.

Решение.

1)

2) Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:

3) Умножая первую строку на и прибавляя ко второй, затем умножая первую строку на и прибавляя к третьей, получаем:

Далее переставим местами вторую и третью строки:

И, наконец, умножая вторую строку на 2 и прибавляя к третьей, получим:

Ответ:

Замечание. Определитель в задаче 2 можно было вычислить и так: сначала привести его к виду а затем разложить по элементам первого столбца.

Задача 3. Вычислите определитель матрицы

Решение. Разложим данный определитель четвертого порядка по элементам первой строки:

Вычисляя определители третьего порядка, находим:

Этот определитель можно вычислить путем его преобразований на основании свойств:

Ответ:

Задача 4. Найдите матрицу, обратную матрице:

Решение. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как , то матрица А имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А: ; ; ; ; ; ; ; ; . Тогда

Ответ:

Задача 5. С помощью элементарных преобразований найти матрицу , обратную матрице

Решение. Составляем матрицу и преобразуем ее, приводя матрицу А к единичной. При этом матрица Е будет приведена к :

Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных преобразований: элементы первой строки умножены на (–1) и сложены с элементами второй строки, элементы первой строки умножены на (–2) и сложены с элементами третьей строки.

Умножив последнюю строку второй матрицы на (–1), получим третью матрицу.

Умножая третью строку на (–1) и прибавляя ко второй, а затем к первой строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку на (–1) и прибавляя к первой строке, получаем пятую матрицу: слева от черты – единичная матрица, справа – матрица А ^–1, обратная исходной матрице А.

Ответ: