II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Точки C и D лежат между точками А и В так, что AC = CD = DB

Задача 1. Точки C и D лежат между точками А и В так, что AC = CD = DB. Найдите, в каком отношении:

а) точка С делит направленный отрезок ;

б) точка А делит направленный отрезок .

Решение. а) Пусть точка С делит направленный отрезок в отношении l, т.е. . Тогда по определению деления отрезка в данном отношении

. (1)

По чертежу (рис. 16) находим:

. (2)

Ответ: .

б) Пусть точка А делит направленный отрезок в отношении m, т.е. . Тогда по определению деления отрезка в данном отношении:

. (3)

По чертежу (рис. 16) находим:

. (4)

Сравнивая правые части равенств (3) и (4), получаем: .

Ответ: .

Задача 2. Постройте точки, делящие данный направленный отрезок (рис. 17) в отношении:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Пусть точка С делит направленный отрезок в отношении . Тогда .

Так как l > 0, то , следовательно, точка С лежит внутри отрезка АВ.

Так как , то отрезок АВ надо разделить на четыре равные части, и третья точка деления будет искомой точкой С (рис. 18).

б) Пусть точка D делит в отношении . Тогда .

l < 0 не лежит внутри отрезка АВ.

Так как , то точка D такова, что А лежит между D и В, причем А – середина DB (рис. 19).

в) Пусть точка Е делит в отношении . Тогда .

l > 0 точка Е лежит внутри отрезка АВ.

Так как , то отрезок АВ надо разделить на 7 равных частей, и третья точка деления будет искомой точкой Е (рис. 20).

Ответ: точки C, D и E – искомые (рис. 18, 19, 20).

Задача 3. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках .

Решение. Пусть – точка пересечения медиан AK, BL, CN треугольника АВС (рис. 21). Так как L – середина отрезка АС, то она имеет координаты

Так как , то точка М делит направленный отрезок в отношении . Тогда

Итак, если известны координаты вершин треугольника то координаты точки пересечения его медиан определяются по формулам:

Ответ: .

Задача 4. Докажите, что треугольник с вершинами прямоугольный.

Решение. Первый способ. Найдем координаты векторов и

Аналогично находим, что .

Выясним, будут ли векторы и попарно взаимно перпендикулярны:

т.е. – прямоугольный.

Второй способ. Воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Для этого найдем квадраты длин сторон D АВС:

Тогда следовательно, D АВС – прямоугольный ().

Задача 5. На оси Оy найдите точку, равноудаленную от точек и .

Решение. Пусть – искомая точка. Так как , то ее абсцисса и аппликата равны нулю, т.е. x = 0 и z = 0. Следовательно, .

Так как М равноудалена от точек А и В, то АМ = ВМ, откуда получаем уравнение:

После возведения в квадрат и упрощения получаем: т.е. .

Ответ: .