II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Вычислите где если:

Задача 1. Вычислите где если:

а) б)

Решение. а) Воспользуемся свойствами и определением скалярного произведения векторов:

б) Найдем координаты векторов и :

Затем воспользуемся формулой для нахождения скалярного произведения векторов в координатах:

Ответ: а) б)

Задача 2. Найдите координаты единичного вектора, ортогонального вектору и вектору

Решение. Пусть искомый вектор. По условию задачи имеем:

Учитывая, что получили систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая систему, получим: откуда

Таким образом, существует два вектора и удовлетворяющих условию задачи (они являются противоположными) (рис. 13).

Ответ:

Задача 3. Найдите вектор , коллинеарный вектору если

Решение. Так как векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, поэтому можно записать: где t – некоторое действительное число. Найдем t.

Так как то т.е. откуда Тогда

т.е. задача имеет два решения.

Эти векторы являются противоположными (рис. 14).

Ответ:

Задача 4. Найдите длину диагонали АС ромба ABCD, у которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 30⁰.

Решение. По правилу параллелограмма (рис. 15).

Найдем :

откуда находим

Ответ:

Задача 5. Длины ненулевых векторов и равны. Найдите угол между этими векторами, если известно, что векторы перпендикулярны.

Решение. Так как , то , т.е. .

Воспользуемся свойствами скалярного произведения:

По определению скалярного произведения , откуда при получаем: , .

Поскольку , то находим .

Следовательно, угол между векторами равен .

Ответ: .