II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Вершины треугольника находятся в точках Вычислите его площадь и длину высоты, проведенной из вершины В.

Задача 1. Вершины треугольника находятся в точках Вычислите его площадь и длину высоты, проведенной из вершины В.

Решение. Воспользуемся формулой

Найдем координаты векторов и :

Сначала найдем координаты вектора

т.е.

Затем найдем длину вектора :

Тогда (кв. ед.).

Чтобы найти высоту ВН (рис. 22), воспользуемся формулой

тогда (ед.).

Ответ: кв. ед., ед.

Задача 2. Найдите объем и длину высоты параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ (рис. 23), если

Решение. ;

Тогда (куб. ед.).

Для нахождения высоты А ₁ Н (рис. 23) воспользуемся формулой: откуда ;

Ответ: куб. ед.,

Задача 3. Докажите, что векторы компланарны.

Решение. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

следовательно, векторы компланарны.

Задача 4. При каком значении x вектор перпендикулярен вектору если

Решение. Первый способ. Найдем сначала координаты вектора Вектор перпендикулярен вектору тогда и только тогда, когда Найдем скалярное произведение Следовательно, получаем уравнение откуда находим

Второй способ. Не находя координат вектора запишем условие перпендикулярности векторов и Но в левой части этого равенства стоит смешанное произведение трех векторов следовательно, Подставляя в это равенство координаты векторов получим уравнение:

откуда т.е.

Ответ: