Метод Эйлера решения задачи Коши

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (1.1)

Предположим, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Задача Коши для дифференциального уравнения (1.1) формулируется следующим образом: найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию .

Предположим, что известно решение в точке и требуется найти , где – шаг интегрирования. Согласно формуле Ньютона – Лейбница, очевидным является следующее равенство

.

Запишем его следующим образом

.

Учитывая уравнение (1.1), последнее равенство можно записать в виде

. (1.2)

Интеграл в правой части выражения (1.2) приближенно можно вычислить, используя формулу прямоугольников:

.

Здесь . Отбрасывая члены порядка и полагая , , получаем известную формулу Эйлера

, . (1.3)

Аналогичный результат можно получить и другим способом. Для этого разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , в результате получим

(1.4)

или

.

В последнем выражении ограничимся двумя первыми слагаемыми в правой части. В результате получаем

, .

Полагаем, что решение в точке известно. Тогда решение в точке можно найти, используя последнюю формулу и учитывая, что :

(1. )

или

, .

Начинать вычислительный процесс необходимо с точки, определяющей начальные условия, то есть .

Вычислительный процесс, построенный по формуле (1.3), имеет локальную погрешность, пропорциональную . Это означает, что на каждом шаге интегрирования имеет место погрешность порядка . Соответственно, при увеличении времени интегрирования общая погрешность решения дифференциального уравнения возрастает.

Повысить точность получаемых результатов можно, если учитывать большее количество членов разложения функции в ряд Тейлора. Однако, для этого необходимо последовательно дифференцировать правую часть дифференциального уравнения (1.1).

Рассмотрим это на конкретном примере.

Учтем первые четыре члена в ряде Тейлора, в результате получим

.

Как и ранее, полагаем, что решение в точке найдено. Выбирая достаточно малый шаг , находим решение в следующей точке

.

Для реализации этой формулы необходимо знать производные искомого решения , , . Первая производная может быть найдена из дифференциального уравнения (1.1). Это есть его правая часть, . Вторую и третью производные решения – , – можно найти, дифференцируя правую часть уравнения (1.1), рассматривая ее, как сложную функцию. Соответственно имеем

,

, (1.5)

Как видим, такой путь повышения локальной точности решения дифференциального уравнения (1.1) является трудоемким.

Точность вычислений можно повысить при заданном шаге интегрирования и другими способами. В формуле (1.2) интеграл вычисляется по формуле прямоугольников. Вычислим этот интеграл, используя формулу трапеций. В результате будем иметь

.

По формуле Тейлора, справедливо равенство

.

Отбрасывая в последнем выражении члены порядка , и полагая

(1.6)

Здесь .

Погрешность, которая обеспечивается этими формулами, имеет порядок . Формулы (1.6) называются формулами Эйлера – Коши.

1.2. Методы Рунге – Кутта

Полагаем, что функция имеет непрерывные частные производные до -го порядка включительно, тогда решение задачи Коши для уравнения (1.1) будет обладать непрерывными производными до -го порядка включительно. Если значение известно в точке , то справедливо равенство

(1.7)

Как уже отмечалось, значения входящих в данную формулу производных вычисляются последовательным дифференцированием уравнения (1.1), что является достаточно трудоемким процессом.

Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил искать значение в виде

, (1.8)

где

,

,

,

…

,

; ; – некоторые постоянные параметры.

Формула Эйлера (1.3) представляет собой частный случай формулы (1.7) при , а формулы (1.6) – при .

Рассмотрим вопрос о выборе параметров , , . Для простоты ограничимся случаем . Введем обозначения

. (1.9)

– ошибка, которая имеет место на шаге интегрирования для получения , при известном .

Из выражения (1.7) следует, что

. (1.10)

Учитывая соотношения (1.5), из равенства (1.9) имеем

,

,

Приведенные выше условия (1.10) будут выполняться, если справедлива следующая система равенств

поскольку , , , , , .

Это – система из шести уравнений с восемью неизвестными, имеющая бесконечное множество решений. Наиболее употребительное решение системы (1.16)

, , ,

, ,

, , .

Эти решения порождают следующие расчетные формулы

,

, (1.11)

.

Соответственно,

. (1.12)

Вычислительная схема, реализуемая по формулам (1.11), (1.12) называется методом Рунге-Кутта 3-го порядка.

При получаем наиболее распространенную вычислительную схему метода Рунге-Кутта

(1.13)

где

Еще раз отметим, что на каждом шаге интегрирования по методам Рунге-Кутта, согласно формуле (1.8) имеем локальную точность вычислений порядка .

Рассмотренные методы интегрирования дифференциального уравнения являются одношаговыми. То есть для построения решения на следующем шаге необходимо знать информацию о значении решения только на предыдущем шаге.

Более быстродействующими являются многошаговые методы. Они используют информацию о поведении решения в нескольких предыдущих точках: .