![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Многошаговые методы. Интерполяционные формулы Адамса
Рассмотренные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений относятся к типу явных методов. То есть для построения последующего шага таблицы, Рассмотрим схему построения неявных методов на примере неявного метода Эйлера.
Рис. 1.1. Структурная схема алгоритма решения дифференциального уравнения по схеме Адамса (формула (1.17)).
Интеграл в правой части выражения (1.2) вычислялся по формуле прямоугольников с использованием значения подынтегральной функции в точке
Искомое решение входит в левую, и в правую части выражения (1.22). Для его нахождения выражение (1.22) необходимо рассматривать как нелинейное уравнение относительно переменной
где
Найти решение уравнения (1.23) можно, используя любой метод решения нелинейных уравнений, например, метод Ньютона, или метод простых итераций. Отметим, что если дифференциальное уравнение (1.1) является линейным, то уравнение (1.23) также является линейным и значение Достоинство данного подхода – предсказание решения на следующем шаге интегрирования. Рассмотрим интерполяционный метод Адамса. Исходной формулой для получения соответствующих вычислительных схем является формула (1.16). В отличие от экстраполяционного метода, при интерполяционном шагу интегрирования кроме отрицательных значений придают и положительные значения. Рассмотрим построение вычислительных схем на примерах. Пусть необходимо получить точность (погрешность), пропорциональную
или Откуда следует, что
Подставляем найденные значения в формулу (1.14), получаем
или
Найти Выполняя действия по тому же алгоритму, можно получить вычислительные схемы заданной точности. Для точности
Для погрешности, пропорциональной
Более общая формула, выраженная через конечные разности, имеет вид (интерполяционная формула Адамса): Также как и экстраполяционную, данную формулу можно также обрывать на любом члене, получая вычислительные схемы различной точности. Как и в случае экстраполяционной формулы Адамса, для ее использования необходимо заготовить начало таблицы вычислений. На каждом шаге необходимо находить последующее значение дифференциального уравнения путем решения нелинейного уравнения. Метод решения может быть выбран любым.
1.5. Методы решения дифференциальных уравнений
Приведенные выше методы построения формул численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка без всяких изменений переносятся на случай систем уравнений и уравнений высокого порядка. Для уравнений высокого порядка необходимо перейти к нормальной форме Коши
и все рассмотренные выше операции выполняются над векторами. Например, схема Эйлера выглядит следующим образом:
или для элементов вектора
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка будет давать следующую вычислительную схему:
где
Для элементов вектора
где
Вычислительные схемы, основанные на формулах Адамса, строятся аналогичным образом. Основная проблема при решении уравнений высокого порядка – это переход к нормальной форме Коши. Если правая часть уравнения является укороченной, т.е. имеет место уравнение вида
то переход к нормальной форме является простым – вводятся новые переменные: В этом случае нормальная форма Коши записи дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом: Если правая часть не является укороченной, то есть имеет место уравнение вида:
то нормальная (каноническая) форма Коши будет иметь следующий вид:
где
Как видим, для приведения уравнения Аналогичная процедура выполняется и для нелинейных уравнений. Рассмотрим нелинейное уравнение второго порядка
где
Перейдем к нормальной форме Коши. Система уравнений в данном, частном случае, будет следующей
Функции
Формула (1.25) в векторно-матричном виде выглядит следующим образом
где
Рассмотрим реализацию неявного метода Адамса на примере формулы (1.24) для системы линейных уравнений (1.26). Формула Адамса (1.24) для системы уравнений будет иметь вид
Подставляя в нее правые части уравнения (1.26), записанные в форме (1.27), будем иметь
Преобразуем данное уравнение относительно переменной
Если ввести обозначения
выражение (1.28) приобретает вид
Уравнение (1.29) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомого решения
Как видим, при реализации неявных методов, построенных по схеме Адамса, на каждом шаге интегрирования приходится решать систему линейных алгебраических уравнений. Для повышения сходимости вычислительных схем рекомендуется использовать малый шаг интегрирования
|