Метод Ньютона. Пусть известно приближение на k -м шаге xk=

Пусть известно приближение на k -м шаге x^k= . Выпишем разложение функции f_i (x₁, x₂, …, x_n) по формуле Тейлора в точке x^k до второго порядка:

Тогда система (7.1) заменится системой уравнений:

i=1, 2, …, n, ( 7.4)

линейной относительно приращений x_j-x_j^k, j =1, 2, …n. Решение x= (x_1, x₂, …, x_n) ^T системы (7.3) примем за следующее итерационное приближение и обозначим x^k+1 = .

Таким образом, итерационный метод Ньютона для системы (7.1) определяется системой уравнений:

i=1, 2, …, n, (7.5)

из которой последовательно, начиная с заданного x⁰= (x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰) ^T, находятся векторы x^k, k =1, 2, ….. Систему (7.4) можно записать в векторном виде:

k=1, 2, …,

где x⁰ - заданный вектор, F΄ (x) - матрица Якоби.

(7.6)

Если обозначить z^k=x^{k+ 1}- x^k и если (F΄ (x^k))^-1 существует, то, решив систему линейных алгебраических уравнений:

F΄ (x^k) z^k = - F (x^k),

(k+1) -е приближение найдем из формулы

x^k+1=z^k + x^k.

Условие остановки итерационного процесса можно взять в виде

или .