Метод Милна. Пусть для решения уравнения =f(x,y), кроме начального условия y(x0)=y0, найдены значения искомой функции y(xi)=yi в точках xi=x0+ih (i=1,2,3)

Пусть для решения уравнения = f(x, y), кроме начального условия y(x₀)=y₀, найдены значения искомой функции y(x_i)=y_i в точках x_i=x₀+ih (i=1, 2, 3). Последующие значения y_i при i=4, 5, … определим, используя формулы метода Милна:

y_i^пред=y_i-4 + (2 f_i-3 - f_i-2 + 2 f_{i -1}) (прогноз),

y_i^кор=y_i-2 + (f_i-2 – 4 f_i-1+f_i ^пред), где f_i^пред=f(x_i, y_i^пред) (коррекция).

Абсолютная погрешность e_i значения y_i^кор приближенно определяется по формуле e_i@ | y_i^кор- y_i^пред |. Если точность результата достаточна, то полагают y_i @ y_i^кор.

Задания

1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:

- методом численного интегрирования,

- методом Эйлера (модифицированным),

- методом Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности,

- методом Адамса,

- методом Милна.

2. Сравнить полученные результаты с точным решением.

Варианты

1. = e^x y ²-2 y; y(0)=1/2; xÎ [0; 2]; h=0, 1; y _т= .

2. =e^x - е^-x; y(0)=0; xÎ [0; 1]; h=0, 1; y _т= .

3. =x - 2 x y; y(0)=0; xÎ [0; 1]; h=0, 1; y _т= .

4. =sin (2 x) – y tg(x); y(0)=0; xÎ [0; p]; h=0, 1; y _т =-2cos² x+2cos x.

5. =x y²+y; y(0)=1; xÎ [0; 1]; h=0, 1; y _т = .

6. =e^x-y - e^x; y(0)=ln(2); xÎ [0; 1]; h=0, 1; y _т =ln[1+2, 7182818exp(-e^x)].

7. x +y=x sin (x); y ()= ; x Î [ ; p ]; h =0, 1 ; y _т= .

8. x -y=x² sin (x); y ()=1; x Î [ ; p ]; h =0, 1 ; y _т= x( - cos (x)).

9. x - y²+1=0; y (0, 1)=0; x Î [0, 1; 1]; h =0, 1; y _т= .