Методы Рунге-Кутта. Для решения задачи Коши (8.1) семейство методов Рунге-Кутта описывается следующим выражением:

Для решения задачи Коши (8.1) семейство методов Рунге-Кутта описывается следующим выражением:

y(x+h)=y(x)+ , (8.9)

где h – шаг сетки; число q называется порядком точности метода (8.9).

k₁=h f (x, y),

k₂=h f (x+a₂ h, y+b₂₁k₁),

…

k_i=h f (x+a_I h, y+b_i1k₁+b_i2k₂+…+b_ii-1k_i-1); i=1, …, q.

Здесь p_i, a_i, b_ik – коэффициенты.

При q = 1 имеем метод первого порядка точности:

y_i+1=y_i + k₁,

k₁=h f (x_i, y_i),

y₀=y(x₀).

Метод второго порядка точности (при q = 2) имеет вид:

y_i+1=y_i + (k₁+ k₂),

k₁=h f (x_i, y_i),

k₂=h f (x_i+h, y_i+k₁),

y₀=y(x₀).

Наиболее распространен на практике метод четвертого порядка точности (при q =4):

y_i+1=y_i + (k₁+2 (k₂+k₃) +k₄),

где k₁=h f (x_i, y_i),

k₂= h f (x_i+h/2, y_i+ k₁ /2),

k₃= h f (x_i+h/2, y_i+ k₂ /2),

k₄= h f (x_i+ h, y_i+ k₃).

Для нахождения решения с заданной точностью e, численная реализация методов Рунге-Кутта выполняется следующим образом: задается сетка x_i=a+ih₀, i = 1, …, n; h₀=(b-a)/n, далее на каждом I -м шаге в точке x=x_i вычисляют два значения y_i⁽¹⁾ и y_i⁽²⁾:

y_i⁽¹⁾=y_i-1 + p_j(h₀)k_j(h₀, x_i-1, y_i-1),

=y_i-1 + p_j(h₁)k_j(h₁, x_i-1, y_i-1),

y_i⁽²⁾= + p_j(h₁)k_j(h₁, x_i-1, ), где h₁=h₀ /2.

Если выполнено условие | y_i⁽¹⁾- y_i⁽²⁾ | < e, где e - заданная точность, то следующее y_i+1 вычисляется c тем же шагом h₀. В противном случае полагают h₀=h₁, h₁=h₀ /2.