Метод прогонки. Схему (8.11) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно (n+1) - неизвестных yi (i=0

Схему (8.11) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно (n+1) - неизвестных y_i (i=0, 1,..., n) с трехдиагональной матрицей коэффициентов:

A_i y_i-1 - C_i y_i + B_i y_i+1 = -F_i (i=1, …, N-1).

Такую систему можно решить методом скалярной прогонки (см. п. 2.7.) с условием устойчивости | C_i | ≥ | A_i | + | B_i |.

Задания

1. Аналитически показать, что при k (x) =const, q (x) =const, u (x) - многочлен второй степени, разностная схема (8.11) дает точное решение.

2. Показать, что приведенные формулы численного интегрирования для коэффициентов дают 2 -й порядок точности:

d_i=q (x_i) +o (h²), j_i=f (x_i) +o (h²), a_i=k (x_i) +o (h²).

3. Выполнить программную реализацию интегро-интерполяционного метода и на ее основе проверить п.1.

4. Построить собственный пример (8.11) на классе функций: k (x), q (x) - линейные. Сравнить численное решение с аналитическим.

5. В схеме (8.11) использовать следующие коэффициенты:

k (x) =ax+b, q (x) =cx+e, u (x) =rx²+px+g;

k (x) =ax+b, q (x) =const, u (x) =e^-lx (рассмотреть два случая: 0< l< 1 и l> 1).

6. Составить разностную схему для следующей краевой задачи:

p (x) u² (x) +q (x) u¢ (x) +r (x) u (x) = f (x),

a₁ u¢ (a) +b₁ u (a) =g₁,

a₂ u¢ (b) +b₂ u (b) =g₂,

a< x< b.

7. Для данной краевой задачи найти аналитическое решение методом Галеркина или методом наименьших квадратов и сравнить полученное решение с найденным приближенным решением.

8. Записать разностную схему для одного из вариантов краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения и решить методом прогонки.

Варианты заданий

1. + 2xy=0, 8 2.

3. + 2y=x+1 4.

5. - xy=x² 6.

7. = x+0, 4 8.

9. + 2y=1, 5 10.

11. - 2y=0.6 12.

13. - xy=1, 4 14.