Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем

Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное в некоторой области D, ограниченной контуром Г:

LU = f, (9.2)

где U - решение (9.2). Множество D_h ={ M_h } состоящее из изолированных точек M_h, принадлежащих замкнутой области D, называется сеткой, а точки M_h - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией U_{h .} На практике, как правило, можно вычислить только приближенное сеточное значение функции U^(h).

Для нахождения U^(h) строим систему численных уравнений:

L_h(U^(h)) = f^(h) , (9.3)

где L_h – разностный оператор, соответствующий оператору L, f^(h) – разностный аналог правой части.Уравнение (9.3) является разностной схемой.

Таким образом, в методе сеток происходит замена пространства V (пространства непрерывных в D функций U) на пространство V_h (пространство, образованное совокупностью сеточных функций U_h, определенных на D_h.). В линейных пространствах V_h и F_h введем нормы и , которые являются сеточными аналогами норм в пространстве V и F.

Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) является сходящейся, если при h ® 0 выполняется условие

. (9.4)

Если выполнено условие (с=const, s> 0), то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s.

Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) на решение U, если

L_h(U_h) = f^(h)+d f^(h) (9.5)

при h ® 0,

величина d f^(h) называется погрешностью аппроксимации.

Если (M=const, β > 0), то говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) с погрешностью порядка β относительно h.

Определение. Разностная схема (9.3) называется устойчивой, если существует такое h₀ > 0, что для всех h< h₀ и любых f^(h)Î F_h выполняются условия:

1) разностная схема (9.3) имеет единственное решение;

2) , где M – постоянная, не зависящая от h и f^(h).

Теорема. Пусть разностная схема L_h(U^(h)) = f^(h) аппроксимирует задачу LU = f на решение U с порядком s> 0 относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходящейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т. е. будет справедлива оценка:

, (9.6)

где с – постоянная, не зависящая от h.