Решение уравнения эллиптического типа

Задача Дирихле для уравнения Пуассона

= f(x, y) (9.13)

заключается в нахождении функции U=U(x, y), удовлетворяющей данному уравнению (9.13) внутри некоторой области G={0 < x< a, 0 < y< b}, а на границе этой области Г - заданному условию:

U|_Г=j(M),

где j - известная функция, M – точка контура Г. Считаем, что задача имеет единственное решение в области с границей Г, и это решение непрерывно в области со своими производными до четвертого порядка включительно.

Выберем прямоугольную сетку, положив:

x_m=m h, m = 0, 1, …, M, h = a/M> 0,

y_n=n l, n = 0, 1, …, N, l=b/N> 0.

Для аппроксимации уравнения (9.13) используем пятиточечный шаблон. Запишем разностную схему для задачи Дирихле:

L_h(U_h ) = f^(h), (9.14)

где

L_h(U_h) º

и правая часть

f^(h) º

Разностная схема (9.14) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Число уравнений этой системы равно (M-1)х(N-1), столько же неизвестных U_{m n}, m=1, …, M-1, n=1, …, N-1. Разностная схема устойчива и аппроксимирует данную задачу с погрешностью порядка О(h²). Для решения подобных систем линейных алгебраических уравнений, определяемых формулой (9.14), разработан метод матричной прогонки.