Метод вращения

Любую действительную, симметричную матрицу A можно привести к виду A = U ∙ D ∙ U ^–1 , где U – ортогональная матрица (U ^–1 = U ^T ),

D – диагональная матрица,

где λ _i – собственные значения матрицы A.

Следовательно, имеем U ^–1 ∙ A ∙ U = D.

На этом свойстве матрицы основан метод вращения: если некоторым ортогональным преобразованием V свести матрицу A к диагональной: , то собственные значения матриц совпадают.

Таким образом, нужно построить последовательность ортогональных преобразований, позволяющих неограниченно уменьшать модули недиагональных элементов матрицы A. Обозначим . Пусть с помощью преобразования подобия ортогональными матрицами построена последовательность матриц. При этом если , то процесс является монотонным.

Итак, по заданной матрице A будем строить последовательность A^k так, чтобы A^{k -1} находилась через A^k при помощи преобразования подобия со следующей матрицей вращения:

Пусть нашли . Найдем . Пусть это будет , k < l (i, j = 1, …, m), и выбираем угол по формуле

.

Строится ортогональная матрица V_n, которая отличается от единичной матрицы E только элементами:

,

,

и делается преобразование подобия

.

При этом матрицы A ^{( n -1)} и V_n A ^{( n -1)} = B отличаются лишь k –й и l – й строками, т. к. эти матрицы B являются линейными комбинациями тех же строк матрицы A ^{( n -1)}:

,

.

Аналогично k –й и l -й столбцы матрицы A ^{( n )}:

,

.

Элементы являются приближенными к собственным числам λ _i матрицы A, а столбцы матрицы

являются приближенными к собственным векторам матрицы A. При этом имеет место оценка погрешности

.