Метод пропорционального деления (метод хорд)

Выберем неподвижным тот конец отрезка, для которого знак функции f (x)совпадает со знаком ее второй производной f" (x). Тогда последовательные приближения x_n лежат по ту сторону корня x, где функция f (x)имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f" (x).

Например, если f" (x) > 0 при a £ x £ b, то кривая y=f (x)будет выпукла вниз.

Возможны два случая:

1) f (a) > 0, тогда x₀=b (рис. 4.5) и неподвижен конец a,

x_n+1= x_n- (n=0, 1, 2, …);

2) f (a) < 0, тогда x₀=a (рис. 4.6) и неподвижен конец b,

x_n+1= x_n - (n=0, 1, 2, …).

Этот метод имеет линейную сходимость, есть погрешность на (n+1) -й итерации пропорциональна погрешности на n -й итерации. В этом случае говорят, что метод первого порядка точности.

Для оценки погрешности n -го приближения корня можно воспользоваться формулой | x_n-x | £ или | x_n-x | £ | x_n - x_n-1|,

где m₁ = min | f' (x)|, M₁ =max| f’ (x)| для всех x [ a, b ].