Метод скалярных произведений

Рассмотрим задачу отыскания максимального по модулю собственного значения матрицы А. По определению собственные значениями квадратной матрицы A называются числа, удовлетворяющие соотношению

Ax= λ x, (5.1)

где x - собственный вектор. Собственный вектор x_i (i=1, …, n), соответствующий собственному значению λ _i, является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений

(A – λ E) x = 0.

Пусть матрица A размерности m´ m имеет полную систему нормированных собственных векторов е_i (I=1, …, m), т. е. || е_i ||= 1, и пусть

| λ ₁ | > | λ ₂ | ³ … ³ | λ _m | ³ 0.

Зададим вектор

.

Будем последовательно вычислять векторы по итерационной формуле

xⁿ⁺¹ =Axⁿ.

Тогда xⁿ можно записать следующим образом:

.

Представим это равенство в виде

xⁿ =c₁λ ⁿe₁ +o(|λ |ⁿ).

Тогда имеем

(xⁿ, xⁿ) =| c₁|² | λ ₁ |²ⁿ + o(|λ ₁|ⁿ|λ ₂|ⁿ).

(xⁿ⁺¹, xⁿ) = λ ₁| c₁|² | λ ₁ |²ⁿ + o(|λ ₁|ⁿ|λ ₂|ⁿ).

Находим:

,

при этом

λ = λ + O .

В процессе итераций при n , || x || , если | λ |> 1, || x || 0, если | λ | < 1, поэтому всегда найдется такое n, что в ЭВМ произойдет АВОСТ, если (при | λ |< 1) x станет нулем. Чтобы этого не случилось, рекомендуется использовать следующий алгоритм:

e = ,

x =Ae ,

λ ,

где . Итерационный процесс прекращается, когда будет выполнено условие: | λ ⁽ⁿ⁾ - λ ^(n-1)| ≤ ε.

В случае действительной симметричной матрицы все собственные значения действительны, а отношение задает приближенное значение собственного вектора.

Иногда причиной плохой сходимости итераций может быть то, что начальное приближение x⁽⁰⁾ оказалось ортогональным собственному вектору, соответствующему максимальному по модулю собственному значению. В этом случае рекомендуется сменить начальное приближение.

Для нахождения минимального собственного значения матрицы А, найдем матрицу B= (A - λ ₁E) и применим для нее итерационный процесс для нахождения максимального по модулю собственного значения | λ ₁(B) |.

Если λ ₁(A) > 0, то, очевидно, что λ _i (B)= λ _i (A)- λ ₁ (A) ≤ 0, i=1, 2, …, m. Поэтому λ ₁(B)= min(λ _i(A) - λ ₁(A))= min λ _i(A) - λ ₁(A), то есть minλ _i (A)= λ ₁(A)+λ ₁(B).

Если λ ₁(A) < 0, то max λ _i(A)=min λ _i(A)+ λ ₁(B).