Метод Ньютона (метод касательных)

Выберем за начальное значение x₀ тот конец отрезка, для которого знак функции f (x)совпадает со знаком ее второй производной f" (x). Положим для определенности, что f" (x) > 0 при a £ x £ b и f (b) > 0. Выберем, например, x₀=b, для которого f (x₀) f" (x₀) > 0. Проведем касательную к кривой y=f (x)в точке B₀ [ x₀, f (x₀)]. В качестве первого приближения x₁ корня x возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox (рис. 4.7) и т. д.

Приведем итерационные формулы метода Ньютона:

x_n+1= x_n- (n=0, 1, 2, …), x₀=b.

Заметим, что если положить x₀=a и, следовательно, f (x₀) f" (x₀) < 0, то, проведя касательную к кривой y=f (x)в точке A[ a, f (a)], мы получили бы точку , лежащую вне отрезка[ a, b ] (см. рис. 4.7).

Метод имеет квадратичную сходимость, то есть погрешность на (n+1) -й итерации пропорциональна квадрату погрешности на n -й итерации. Метод второго порядка точности.

Для оценки погрешности n -го приближения можно воспользоваться формулой:

| x_n-x | £ или | x_n-x | £ (x_n - x_n-1) ²,

где m₁ = min | f' (x)|, M₂ =max| f" (x)| для всех x [ a, b ].

Если f" (x) не задан, то начальное приближение можно искать по формулам:

с=a -