Квадратурные формулы. Пусть для функции y=f(x)требуется вычислить интеграл J(f)= .

Пусть для функции y=f (x)требуется вычислить интеграл J(f) = .

Выбрав шаг h= , разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей: x₀=a, x_i=x₀+ih (i=1, 2, …, n-1), x_n=b и пусть y_i=f (x_i)(i=0, 1, 2, …, n), p(x) = 1.

Построим, например, полином Лагранжа:

f (x)≈ L _n (x) = +R _n (x).

Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу

,

где A_i - некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от функции f (x), а зависящие лишь от расположения узлов сетки x_i.

Для формулы трапеции (n =1) p(x)=1, A₀=A₁=1/2.

= (y₀+y₁).

Остаточный член формулы трапеции равен:

R= - (y₀+y₁) = ,

где ξ (x₀, x₀+h).

Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:

,

где R (h) = , М₂= .

Формула Симпсона при n =2 и p(x)=1. Интерполирование функции выполняется по трем ее значениям. A₀=1/6, A₁=2/3, A₂=1/6 или, так как x₂-x₀=2h,

Остаточный член формулы Симпсона равен

R= - (y₀+4y₁+y₂) = ,

где ξ (x₀, x₂).

Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид:

,

где R (h) = , М₄= .

Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем:

,

где R (h) = , М₄= .

Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции , заменив подынтегральную функцию f (x)линейным интерполяционным многочленом

f (x) =y_i+ (y_i+1-y_i)

на каждом отрезке [ x_i, x_i+1 ] (i=0, 1, …, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f (x)квадратичным интерполяционным многочленом

f (x) =y_i+ (y_i+1-y_i)

на каждом отрезке [ x_i, x_i+2 ] (i=0, 2, 4, …, n-2).