Кубический сплайн

Построим на отрезке [ a, b ] функцию S_i (x) так, чтобы на каждом отрезке

[ x _i-1, x _i ] (i=1,..., n) функция S_i (x)представляла собой полином третьей степени

S_i (x) =a_i+ b_i (x_i-x) + c_i (x_i-x) ²+ d_i (x_i-x) ³

и в узлах x_i имела первую и вторую непрерывные производные:

(x) = -b_i -c_i (x_i-x) - d_i (x_i-x) ²,

(x) =c_i+d_i (x_i-x),

(a) = =0.

Используя условие интерполирования и непрерывности, имеем:

S_i (x_i) = f (x_i),

S_i (x_i) = S_i+1 (x_i),

(x_i) = (x_i),

(x_i) = (x_i),

далее, обозначив y_i=f (x_i) и h_i+1=x_i+1-x_i, получим, что

a_i=y_i, (2.1)

a_i=a_i+1+b_i+1h_i+1+ c_i+1 + d_i+1 , (2.2)

b_i=b_i+1+c_i+1h_i+1 + d_i+1 , (2.3)

c_i=c_i+1+d_i+1h_i+1. (2.4)

Из (2.4) следует:

d_i+1= (i=0, 1,..n-1).(2.5)

Подставим (2.5) в (2.2) и выразим b_i+1:

b_i+1= (i=0, 1, …n-1).(2.6)

Подставим (2.6) и (2.5) в (2.3) и получим систему из (n-1) трехточечного уравнения относительно переменной c:

α _i c_i-1 +β _i c_i+ γ _i c_i+1 = φ _i, (i=1, …, n-1), (2.7)

где

α _i = h_i,

β _i = 2 (h_i+1+h_i),

γ _i = h_i+1,

φ _i = 6 .

Уравнение (2.7) при краевых условиях ( (a) = =0) c₀=0, c_n=0 решается методом прогонки:

c_i = p_i+1 c_i+1 + q_i+1 (i=n-1, …, 1).(2.8)

Запишем формулу (2.8) для c_i-1 и подставим в уравнение (2.7):

α _i (p_i c_i + q_i ) +β _i c_i + γ _ic_i+1 =φ _i.

Выразим отсюда c_i:

c_i= c_i+1+ .

Сравнивая с формулой (2.8), выпишем формулы для прогоночных коэффициентов p_i+1 и q_i+1:

p_i+1= ,

q_i+1= (i=1, …, n-1).

Для вычисления p₁, q₁ запишем краевое условие c₀=0 в виде (2.8):

с₀=p₁c₁+q₁=0.

Отсюда следует, что p₁=0, q₁=0. Определим все p_i+1, q_i+1 для i=1, …n-1 и, зная граничное условие c_n=0 по (2.8) для i=n-1, …, 1, найдем все c_i.. Затемиз формул (2.5) и (2.6) получим оставшиеся коэффициенты для кубического сплайна.