Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Кубический сплайн
Построим на отрезке [ a, b ] функцию Si (x) так, чтобы на каждом отрезке [ x i-1, x i ] (i=1,..., n) функция Si (x)представляла собой полином третьей степени Si (x) =ai+ bi (xi-x) + ci (xi-x) 2+ di (xi-x) 3 и в узлах xi имела первую и вторую непрерывные производные: (x) = -bi -ci (xi-x) - di (xi-x) 2, (x) =ci+di (xi-x), (a) = =0. Используя условие интерполирования и непрерывности, имеем: Si (xi) = f (xi), Si (xi) = Si+1 (xi), (xi) = (xi), (xi) = (xi), далее, обозначив yi=f (xi) и hi+1=xi+1-xi, получим, что ai=yi, (2.1) ai=ai+1+bi+1hi+1+ ci+1 + di+1 , (2.2) bi=bi+1+ci+1hi+1 + di+1 , (2.3) ci=ci+1+di+1hi+1. (2.4) Из (2.4) следует: di+1= (i=0, 1,..n-1).(2.5) Подставим (2.5) в (2.2) и выразим bi+1: bi+1= (i=0, 1, …n-1).(2.6) Подставим (2.6) и (2.5) в (2.3) и получим систему из (n-1) трехточечного уравнения относительно переменной c: α i ci-1 +β i ci+ γ i ci+1 = φ i, (i=1, …, n-1), (2.7) где α i = hi, β i = 2 (hi+1+hi), γ i = hi+1, φ i = 6 . Уравнение (2.7) при краевых условиях ( (a) = =0) c0=0, cn=0 решается методом прогонки: ci = pi+1 ci+1 + qi+1 (i=n-1, …, 1).(2.8) Запишем формулу (2.8) для ci-1 и подставим в уравнение (2.7): α i (pi ci + qi ) +β i ci + γ ici+1 =φ i. Выразим отсюда ci: ci= ci+1+ . Сравнивая с формулой (2.8), выпишем формулы для прогоночных коэффициентов pi+1 и qi+1: pi+1= , qi+1= (i=1, …, n-1). Для вычисления p1, q1 запишем краевое условие c0=0 в виде (2.8): с0=p1c1+q1=0. Отсюда следует, что p1=0, q1=0. Определим все pi+1, qi+1 для i=1, …n-1 и, зная граничное условие cn=0 по (2.8) для i=n-1, …, 1, найдем все ci.. Затемиз формул (2.5) и (2.6) получим оставшиеся коэффициенты для кубического сплайна.
|